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2842時間目 ～BASIC～
次の漢字の読みを記せ。
レベルⅠ
Ⅰ 懸空
Ⅱ 吹残
Ⅲ 掌編
Ⅳ 紅粒
レベルⅡ
Ⅰ 災旱
Ⅱ 覆誦
Ⅲ 醜厲
レベルⅢ
Ⅰ 訝訾
Ⅱ 贅壻
Ⅲ 誳詭
特別問題A～数学～
曲線y＝cosxと、点(t,cost) (但し、0≦t≦π/2)におけるこの曲線の接戦ではさまれ、x座標が0≦x≦π/2の部分の面積をS(t)とする。S(t)の最小値と最大値を求めよ。 [東京海洋大]
特別問題B～数学～
複素数平面上の原点以外の点zに対し、w＝1/zとする。
(1) αを0でない複素数とし、点αと原点Oを結ぶ線分の垂直二等分線をLとする。点zが直線Lを動くとき、点wの軌跡は円から1点を除いたものになる。この円の中心と半径を求めよ。
(2) 1の3乗根のうち、虚数が正であるものをβとする。点βと点β2を結ぶ線分上を点zが動くときの点wの軌跡を求め、複素数平面上に図示せよ。 [東京大]
2842時間目模範解答
レベルⅠ
Ⅰ 懸空・・けんくう
意味
①：空にかかる。
②：事実に基づかないで想像すること。また、現実離れしていること。
例：懸空な理論を吹っかけて猛バッシングを浴びた。
Ⅱ 吹残・・・すいざん
意味：風が物を吹き散らす。
例：砂漠でよく吹残されている植物はタンブルウィードという。
Ⅲ 掌編・・・しょうへん
意味：ごく短い文学作品。
例：最も短い英語の掌編は●のみで、「冬眠」である。
Ⅳ 紅粒・・・こうりゅう
意味：古くなって腐った米粒。
レベルⅡ
Ⅰ 災旱・・・さいかん
意味：日照りの災害。
例：昔、災旱によって飢饉が起こった。
Ⅱ 覆誦・・・ふくしょう
意味：繰り返し読む。また、そらんじること。
例：本を覆誦して内容を覚える宿題が出された。
Ⅲ 醜厲・・・しゅうれい
意味：多くの危険な事柄。また、多くの悪事。
例：地震や噴火など日本には自然の醜厲が眠っている。
レベルⅢ
Ⅰ 訝訾・・・がし
意味：あやしむこととそしること。
例：彼は疑い深く、訝訾することが多い。
Ⅱ 贅壻・・・ぜいせい
意味：妻家に寄食すること。また、入り婿を言う。
例：結婚した後彼は贅壻となった。
Ⅲ 誳詭・・・くっき
意味：常に変わること。異なること。
特別問題A～数学～
y＝cosx・・・①、y'＝－sinx ①上の点(t,cost)における接線の方程式は y＝－sint(x－t)＋cost・・・②
よって求める面積は②上のx座標が0,π/2である点をそれぞれA,Bとし、Bからx軸に下した垂線の足(π/2,0)をCとする。
S(t)＝(台形OABC)－$\int^{\frac{\pi}{2}}_0 \cos xdx$
ところで、A,Bのy座標はそれぞれtsint＋cost,tsint＋cost－π/2・sint
よって(台形OABC)＝1/2・{tsint＋cost＋(tsint＋cost－π/2・sint)}・π/2＝π/2・(tsint＋cost－π/4・sint)－1 また
$\int^{\frac{\pi}{2}}_0 \cos xdx$
$=[\sin x]^{\frac{\pi}{2}}_0=1$
∴S(t)＝π/2・(tsint＋cost＋π/4・sint)－1
したがって、S'(t)＝π/2・(sint＋tcost－π/4・cost)＝π/2・(t－π/4)cost
∴0≦t≦π/2におけるS(t)の増減表は図。
よって、t＝π/4のときS(t)は極小かつ最小で、最小値はS(π/4)＝π/2・(π/4・√2/2＋√2/2－π/4・√2/2)－1＝√2π/4－1
またS(0)＝π/2－1、S(π/2)＝π/2・(π/2－π/4)－1＝π2/8－1であり、S(0)－S(π/2)＝π/2－π/8・(4－π)＞0
∴S(0)＞S(π/2) よってS(t)の最大値はS(0)＝π/2－1
特別問題B～数学～
(1) L上の任意の点をzとすると、|z|＝|z－α|・・・①
w＝1/z(z≠0)よりz＝1/wでこれを①に代入すると
|1/w|＝|1/w－α|⇔|1/w|＝|(1－αw)/w|⇔1＝|α||w－1/α|
α≠0より|w－1/α|＝1/|α| よって中心wの軌跡は中心1/α、半径1/|α|
(2) β＝－1/2＋√3i/2よりβ2＝－1/2－√3i/2
(1)よりα＝－1とおくと、点wは円|w＋1|＝1を動く。また、zは原点を中心とする円の内部または周上の点だから|z|≦1
すなわち|w|≧1 よって点wの軌跡は|w＋1|＝1かつ|w|≧1となり、図のようになる。