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2842時間目 ~BASIC~

次の漢字の読みを記せ。

レベルⅠ

Ⅰ 懸空

Ⅱ 吹残

Ⅲ 掌編

Ⅳ 紅粒

レベルⅡ

Ⅰ 災旱

Ⅱ 覆誦

Ⅲ 醜厲

レベルⅢ

Ⅰ 訝訾

Ⅱ 贅壻

Ⅲ 誳詭

特別問題A~数学~

曲線y=cosxと、点(t,cost) (但し、0≦t≦π/2)におけるこの曲線の接戦ではさまれ、x座標が0≦x≦π/2の部分の面積をS(t)とする。S(t)の最小値と最大値を求めよ。 [東京海洋大]

特別問題B~数学~

複素数平面上の原点以外の点zに対し、w=1/zとする。

(1) αを0でない複素数とし、点αと原点Oを結ぶ線分の垂直二等分線をLとする。点zが直線Lを動くとき、点wの軌跡は円から1点を除いたものになる。この円の中心と半径を求めよ。
(2) 1の3乗根のうち、虚数が正であるものをβとする。点βと点β2を結ぶ線分上を点zが動くときの点wの軌跡を求め、複素数平面上に図示せよ。 
[東京大]


2842時間目模範解答

レベルⅠ

Ⅰ 懸空・・けんくう
意味
①:空にかかる。
②:事実に基づかないで想像すること。また、現実離れしていること。
例:懸空な理論を吹っかけて猛バッシングを浴びた。

Ⅱ 吹残・・・すいざん
意味:風が物を吹き散らす。
例:砂漠でよく吹残されている植物はタンブルウィードという。

Ⅲ 掌編・・・しょうへん
意味:ごく短い文学作品。
例:最も短い英語の掌編は●のみで、「冬眠」である。

Ⅳ 紅粒・・・こうりゅう
意味:古くなって腐った米粒。

レベルⅡ

Ⅰ 災旱・・・さいかん
意味:日照りの災害。
例:昔、災旱によって飢饉が起こった。

Ⅱ 覆誦・・・ふくしょう
意味:繰り返し読む。また、そらんじること。
例:本を覆誦して内容を覚える宿題が出された。

Ⅲ 醜厲・・・しゅうれい
意味:多くの危険な事柄。また、多くの悪事。
例:地震や噴火など日本には自然の醜厲が眠っている。

レベルⅢ

Ⅰ 訝訾・・・がし
意味:あやしむこととそしること。
例:彼は疑い深く、訝訾することが多い。

Ⅱ 贅壻・・・ぜいせい
意味:妻家に寄食すること。また、入り婿を言う。
例:結婚した後彼は贅壻となった。

Ⅲ 誳詭・・・くっき
意味:常に変わること。異なること。

特別問題A~数学~

y=cosx・・・①、y'=-sinx ①上の点(t,cost)における接線の方程式は y=-sint(x-t)+cost・・・②
よって求める面積は②上のx座標が0,π/2である点をそれぞれA,Bとし、Bからx軸に下した垂線の足(π/2,0)をCとする。
S(t)=(台形OABC)-$\int^{\frac{\pi}{2}}_0 \cos xdx$
ところで、A,Bのy座標はそれぞれtsint+cost,tsint+cost-π/2・sint
よって(台形OABC)=1/2・{tsint+cost+(tsint+cost-π/2・sint)}・π/2=π/2・(tsint+cost-π/4・sint)-1 また
$\int^{\frac{\pi}{2}}_0 \cos xdx$

$=[\sin x]^{\frac{\pi}{2}}_0=1$
∴S(t)=π/2・(tsint+cost+π/4・sint)-1
したがって、S'(t)=π/2・(sint+tcost-π/4・cost)=π/2・(t-π/4)cost
∴0≦t≦π/2におけるS(t)の増減表は
よって、t=π/4のときS(t)は極小かつ最小で、最小値はS(π/4)=π/2・(π/4・√2/2+√2/2-π/4・√2/2)-1=√2π/4-1
またS(0)=π/2-1、S(π/2)=π/2・(π/2-π/4)-1=π2/8-1であり、S(0)-S(π/2)=π/2-π/8・(4-π)>0
∴S(0)>S(π/2) よってS(t)の最大値はS(0)=
π/2-1

特別問題B~数学~

(1) L上の任意の点をzとすると、|z|=|z-α|・・・①
w=1/z(z≠0)よりz=1/wでこれを①に代入すると
|1/w|=|1/w-α|⇔|1/w|=|(1-αw)/w|⇔1=|α||w-1/α|
α≠0より|w-1/α|=1/|α| よって中心wの軌跡は中心1/α、半径1/|α|
(2) β=-1/2+√3i/2よりβ2=-1/2-√3i/2
(1)よりα=-1とおくと、点wは円|w+1|=1を動く。また、zは原点を中心とする円の内部または周上の点だから|z|≦1
すなわち|w|≧1 よって点wの軌跡は|w+1|=1かつ|w|≧1となり、のようになる。

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