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2832時間目 ~総合問題~

次の漢字の読みを記せ。

レベルⅠ

Ⅰ 風にも当てぬ

Ⅱ 減等

Ⅲ 口沢

Ⅳ 因果応報

レベルⅡ

Ⅰ 解きを付ける

Ⅱ 朋挺

Ⅲ 憂沮

レベルⅢ

Ⅰ 幫閑鑚懶

Ⅱ 岫衍

Ⅲ 彯撇

特別問題A~数学~

四角形ABCDはAB<DC、∠ABC=∠BCD=90°の台形である。∠BADの二等分線が辺BCと交わるとき、その交点をPとする。AB+DC=ADのとき次の問に答えなさい。

(1) 点Pは線分BCの中点であることを証明しなさい。
(2) AB=4cm、DC=9cmのとき、線分APの長さを求めなさい。 
[都立新宿高]

特別問題B~数学~

直線y=ax(a>0)とx軸、および直線x=1で囲まれた部分をx軸の周りに1回転させてできる立体の体積をVとし、曲線y=x+sinx(0≦x≦2π)とx軸、および直線x=2πで囲まれた部分をx軸の周りに1回転させてできる立体の体積をWとする。

(1) Vをaを用いて表せ。
(2) 0<x≦2πにおいて、x+sinx>0であることを示せ。
(3) Wの値を求めよ。
(4) V=Wのとき、aの値を求めよ。 
[富山大]


2832時間目模範解答

レベルⅠ

Ⅰ 風にも当てぬ・・・かぜ(にも)あ(てぬ)
意味:大切に養育すること。

Ⅱ 減等・・・げんとう
意味:等級を下げること。特に刑罰を軽くすること。
例:精神鑑定の結果、減等が決定した。

Ⅲ 口沢・・・こうたく
意味:長く用いた茶碗の縁などの、口の触れた後の汚れ。

Ⅳ 因果応報・・・いんがおうほう
意味:人の行いの善悪に応じてその報いが現れること。

レベルⅡ

Ⅰ 解きを付ける・・・ほど(きを)つ(ける)
意味:いいわけをする。訳を話す。

Ⅱ 朋挺・・・ほうてい
意味:結託する。共謀する。徒党を組む。
例:自民党は大阪では共産党と朋挺する。

Ⅲ 憂沮・・・ゆうそ
意味:うれえて気落ちする。
例:持ち株が暴落して憂沮する。

レベルⅢ

Ⅰ 幫閑鑚懶・・・ほうかんさんらん
意味:手助けすること。

Ⅱ 岫衍・・・しゅうえん
意味:山の洞穴が広い。
例:岫衍たる岩の穴に雨を避ける。

Ⅲ 彯撇・・・ひょうへつ
意味:わたの飛ぶさま。軽い物のさま。
例:発泡スチロールの落下実験をしたのは彯撇としていい結果にならなかった。

特別問題A~数学~

(1) 線分APをPの方向に伸ばした直線と線分DCをCの方向に伸ばした直線の交点をRとする。
△ABPと△RCPにおいて、∠ABP=∠RCP=90°・・・①
AB∥DRより錯角は等しいから∠BAP=∠CRP・・・②、APは∠BADの二等分線から∠BAP=∠DAP・・・③
②、③より∠DAP=∠DRP、これより△DARはAD=RDの二等辺三角形である。条件AD=AB+ACとRD=RC+CDよりAB=RC・・・④
①、②、④より1辺とその夾角が等しいから△ABP≡△RCD。よってBP=CP
ゆえに、点Pは辺BCの中点である。
(2) DとPを結ぶと△APD≡△RPDよりAR⊥DPから∠ABP=∠APD=90°
また、∠BAP=∠PAD よって△ABP∽△APDがいえるからAB:AP=AP:AD
AB=4、DC=9のときAD=AB+DC=13 AP=xとすると4:x=x:13よりx2=52 x>0より
2√13cm

特別問題B~数学~

(1) 求める体積Vは、底面の円の半径がa、高さが1の円錐の体積であるから V=1/3・πa2
(2) f(x)=x+sinxとおくと、f'(x)=1+cosx、0<x≦2πで、f'(x)≧0、等号が成立するのはx=πのときである。
よって、f(x)は0<x≦2πで増加する。ゆえにf(x)>f(0)=0、すなわちx+sinx>0である。
(3) 求める体積Wは
$W=\pi\int^{2\pi}_0(x+\sin x)^2dx$

$=\pi\int^{2\pi}_0(x^2+2x\sin x+\sin^2x)dx$
ここで、$\int^{2\pi}_0x^2dx=[\frac{x^3}{3}]^{2\pi}_0=\frac{8\pi^3}{3}$
$\int^{2\pi}_0 2x\sin x dx$

$=2[x(-\cos x)]^{2\pi}_0-2\int^{2\pi}_0(-\cos x)dx$

$=2(-2\pi)+2[\sin x]^{2\pi}_0$

$=-4\pi$
$\int^{2\pi}_0\sin^2xdx$

$=\int^{2\pi}_0\frac{1-\cos2x}{2}dx$

$=\frac{1}{2}[x-\frac{\sin2x}{2}]^{2\pi}_0=\pi$
よって、W=π(8π3/3-4π+π)=π2(8π2/3-3)
(4) V=Wのとき、(1),(3)の結果によりπa2/3=π2(8π2/3-3)
すなわちa2=π(8π2-9) a>0より
a=√{π(8π2-9)}

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