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2750時間目 ~ULTIMATE~

次の漢字の読みを記せ。

レベルⅠ

Ⅰ 年魚

Ⅱ 刺椿象

Ⅲ 東風菜

レベルⅡ

Ⅰ 鵞耳櫪

Ⅱ 阿党う

Ⅲ 牙籤

レベルⅢ

Ⅰ 客虫

Ⅱ 奔馬草

Ⅲ 含春藤

FINAL

仙驥

特別問題A~数学~

曲線C1:y=exとC2:y=a√x (a>0)が1点Pを共有し、点Pでの接線が一致しているとき、次の問に答えよ。

(1) 点Pのx座標を求めよ。
(2) aの値を求めよ。
(3) C1,C2とy軸で囲まれた部分の面積を求めよ。 
[神奈川大]

特別問題B~数学~

次の問に答えよ。

(1) 35x+91y+65z=3を満たす整数の組(x,y,z)を一組求めよ。
(2) 35x+91y+65z=3を満たす整数の組(x,y,z)の中でx2+y2の値が最小となるもの、およびその最小値を求めよ。 
[東京工業大]


2750時間目模範解答

レベルⅠ

Ⅰ 年魚・・・あゆ[]
ニシン目アユ科に属する魚。

Ⅱ 刺椿象・・・さしがめ[虫]
半翅目異翅亜目サシガメ科に属する昆虫。

Ⅲ 東風菜・・・しらやまぎく[]
キク科の多年草。

レベルⅡ

Ⅰ 鵞耳櫪・・・さわしば[]
カバノキ科の落葉小高木。

Ⅱ 阿党う・・・かたちわ(う)
意味:贔屓する。互いに徒党を組む。

Ⅲ 牙籤・・・こはぜ
意味:足袋や書物の帙などの合わせ目を留める爪。

レベルⅢ

Ⅰ 客虫・・・こおろぎ[虫]
直翅目コオロギ上科の昆虫。

Ⅱ 奔馬草・・・たんじん[]
シソ科の多年草。

Ⅲ 含春藤・・・きづた[]
ウコギ科の常緑藤本。

FINAL

仙驥・・・つる[]
鳥綱ツル目ツル科に属する鳥。

特別問題A~数学~

(1) C1:y=ex、y'=ex C2:y=a√x、y'=a/2√x
点Pの座標をb(b>0)とすると、接線が点Pで一致するから
eb=a/2√b・・・① また、点Pは共有点だからeb=a√nb・・・②
①に②を代入してa√b=a/2√b ∴b=1/2 よってx座標は1/2
(2) ①よりa=2√beb=1√(1/2)e1/2=√(2e)
(3) 求める面積をSとすると
$S=\int^{\frac{1}{2}}_0 e^x dx-\sqrt{2e}\int^{\frac{1}{2}}_0\sqrt xdx$

$=[e]^{\frac{1}{2}}_0-\sqrt{2e}[\frac{2}{3}x^2]^{\frac{1}{2}}_0$

$=\sqrt{e}-1-\sqrt{2e}\cdot\frac{3}{2}\cdot(\frac{1}{2})^{\frac{2}{3}}$

$=\frac{2\sqrt{e}}{3}-1$

特別問題B~数学~

(1) 35x+91y+65z=3 35と65は5の倍数であり、91を90+1とする。
5(7x+18y+13z)+y=3→5(7x+18y+13z)=3-y・・・①
左辺は5の倍数だから、3-yも5の倍数である。3-y=5k(k:整数)とおく。
①にy=3-5kを代入し5で割ると 7x+18(3-5k)+13z=k 7x+13z=91k-54・・・②
実例を見つけるだけだからk=1とするとy=-2で7x+13z=37
7に着目し、7x+(7・2-19z=7・5+2 7(x+2z-5)=z+2・・・③
左辺は7の倍数だから、右辺も7の倍数で、z+2=7l(l:整数9とおける。③にz=7l-2を代入し7で割ると
x+2(7l-2)-5=l x=-13l+9となる。よってx=9-13l、z=7l-2、y=-2である。
l=1を代入すると、(x,y,z)の一例は(x,y,z)=(-4,-2,5)
(2) ②にx=9-13lを代入すると、7(9-13l)+13z=91k-54
-7・13l+13z=-7・13k-117 13に着目すると、-7・13l+13z=7・13k-9・13、-7l+z=7k-9
以上よりk,lを任意の整数としてx=9-13l、y=3-5k、z=7(k+l)-9となる。
x2+y2を最小にするには|x|,|y|を最小にすることを考えればよい。l=1、k=1でおこり、(x,y,z)=(-4,-2,5)のときx2+y2=20となる。

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