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2750時間目 ～ULTIMATE～
次の漢字の読みを記せ。
レベルⅠ
Ⅰ 年魚
Ⅱ 刺椿象
Ⅲ 東風菜
レベルⅡ
Ⅰ 鵞耳櫪
Ⅱ 阿党う
Ⅲ 牙籤
レベルⅢ
Ⅰ 客虫
Ⅱ 奔馬草
Ⅲ 含春藤
FINAL
仙驥
特別問題A～数学～
曲線C1：y＝exとC2：y＝a√x (a＞0)が1点Pを共有し、点Pでの接線が一致しているとき、次の問に答えよ。
(1) 点Pのx座標を求めよ。
(2) aの値を求めよ。
(3) C1,C2とy軸で囲まれた部分の面積を求めよ。 [神奈川大]
特別問題B～数学～
次の問に答えよ。
(1) 35x＋91y＋65z＝3を満たす整数の組(x,y,z)を一組求めよ。
(2) 35x＋91y＋65z＝3を満たす整数の組(x,y,z)の中でx2＋y2の値が最小となるもの、およびその最小値を求めよ。 [東京工業大]
2750時間目模範解答
レベルⅠ
Ⅰ 年魚・・・あゆ[魚]
ニシン目アユ科に属する魚。
Ⅱ 刺椿象・・・さしがめ[虫]
半翅目異翅亜目サシガメ科に属する昆虫。
Ⅲ 東風菜・・・しらやまぎく[植]
キク科の多年草。
レベルⅡ
Ⅰ 鵞耳櫪・・・さわしば[植]
カバノキ科の落葉小高木。
Ⅱ 阿党う・・・かたちわ(う)
意味：贔屓する。互いに徒党を組む。
Ⅲ 牙籤・・・こはぜ
意味：足袋や書物の帙などの合わせ目を留める爪。
レベルⅢ
Ⅰ 客虫・・・こおろぎ[虫]
直翅目コオロギ上科の昆虫。
Ⅱ 奔馬草・・・たんじん[植]
シソ科の多年草。
Ⅲ 含春藤・・・きづた[植]
ウコギ科の常緑藤本。
FINAL
仙驥・・・つる[鳥]
鳥綱ツル目ツル科に属する鳥。
特別問題A～数学～
(1) C1：y＝ex、y'＝ex C2：y＝a√x、y'＝a/2√x
点Pの座標をb(b＞0)とすると、接線が点Pで一致するから
eb＝a/2√b・・・① また、点Pは共有点だからeb＝a√nb・・・②
①に②を代入してa√b＝a/2√b ∴b＝1/2 よってx座標は1/2
(2) ①よりa＝2√beb＝1√(1/2)e1/2＝√(2e)
(3) 求める面積をSとすると
$S=\int^{\frac{1}{2}}_0 e^x dx-\sqrt{2e}\int^{\frac{1}{2}}_0\sqrt xdx$
$=[e]^{\frac{1}{2}}_0-\sqrt{2e}[\frac{2}{3}x^2]^{\frac{1}{2}}_0$
$=\sqrt{e}-1-\sqrt{2e}\cdot\frac{3}{2}\cdot(\frac{1}{2})^{\frac{2}{3}}$
$=\frac{2\sqrt{e}}{3}-1$
特別問題B～数学～
(1) 35x＋91y＋65z＝3 35と65は5の倍数であり、91を90＋1とする。
5(7x＋18y＋13z)＋y＝3→5(7x＋18y＋13z)＝3－y・・・①
左辺は5の倍数だから、3－yも5の倍数である。3－y＝5k(k：整数)とおく。
①にy＝3－5kを代入し5で割ると 7x＋18(3－5k)＋13z＝k 7x＋13z＝91k－54・・・②
実例を見つけるだけだからk＝1とするとy＝－2で7x＋13z＝37
7に着目し、7x＋(7・2－19z＝7・5＋2 7(x＋2z－5)＝z＋2・・・③
左辺は7の倍数だから、右辺も7の倍数で、z＋2＝7l(l：整数9とおける。③にz＝7l－2を代入し7で割ると
x＋2(7l－2)－5＝l x＝－13l＋9となる。よってx＝9－13l、z＝7l－2、y＝－2である。
l＝1を代入すると、(x,y,z)の一例は(x,y,z)＝(－4,－2,5)
(2) ②にx＝9－13lを代入すると、7(9－13l)＋13z＝91k－54
－7・13l＋13z＝－7・13k－117 13に着目すると、－7・13l＋13z＝7・13k－9・13、－7l＋z＝7k－9
以上よりk,lを任意の整数としてx＝9－13l、y＝3－5k、z＝7(k＋l)－9となる。
x2＋y2を最小にするには|x|,|y|を最小にすることを考えればよい。l＝1、k＝1でおこり、(x,y,z)＝(－4,－2,5)のときx2＋y2＝20となる。
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