漢字戦場　～ブレイズム漢字講座ブログ～

2751時間目　～諺・四字熟語～

次の漢字の読みを記せ。

Ⅰ　菀たる柳あれば、愒うこと尚わざらんや

Ⅱ　本支百世なり

Ⅲ　咫尺を弁せず

Ⅳ　独木林せず

Ⅴ　俎上に載せる

Ⅵ　心事高尚

Ⅶ　怨望隠伏

Ⅷ　暗箭傷人

Ⅸ　一簣の功

Ⅹ　家内狼藉

特別問題A～数学～

空欄を埋めなさい。

楕円x²＋2y²＝1と直線y＝x＋kが異なる2点で交わるような定数kの値は[ア]であり、このとき2つの交点の中点は常に直線[イ]上にある。　[北海道工業大]

特別問題B～数学～

座標空間において、Oを原点とし、A(2,0,0),B(0,2,0),C(1,1,0)とする△OABを直線OCの周りに1回転してできる回転体をLとする。以下の問いに答えよ。

(1) 直線OC上にない点P(x,y,z)から直線OCに下ろした垂線をPHとする。OHとHPをx,y,zの式で表せ。
(2) 点P(x,y,z)がLの点であるためにはz²≦2xyかつ0≦x＋y≦2であることを示せ。
(3) 1≦a≦2とする。Lを平面x＝aで切った切り口の面積S(a)を求めよ。
(4) 立体{(x,y,z)|(x,y,z)∈L,1≦x≦2}の体積を求めよ。　[神戸大]

2751時間目模範解答

Ⅰ　菀たる柳あれば、愒うこと尚わざらんや・・・えん(たる)やなぎ(あれば)、いこ(うこと)なら(わざらんや)
意味：徳の高い政治家がいれば、だれしもその人の政治のもとに生活したいと希望する。

Ⅱ　本支百世なり・・・ほんしひゃくせい(なり)
意味：家運の繁栄をいう。

Ⅲ　咫尺を弁せず・・・しせき(を)べん(せず)
意味：きわめて近いところも見分けがつかない。

Ⅳ　独木林せず・・・どくぼくりん(せず)
意味：ただ一人の力だけでは、事は成就しないたとえ。

Ⅴ　俎上に載せる・・・そじょう(に)の(せる)
意味：議論や批判などの対象として、物事や人物を取り上げる。

Ⅵ　心事高尚・・・しんじこうしょう
意味：心の中に思っている事柄が、程度が高く上品なこと。
例：ゆえにいわく、人の心事は高尚ならざるべからず、心事高尚ならざれば働きもまた高尚なるを得ざるなり。

Ⅶ　怨望隠伏・・・えんぼういんぷく
意味：不平不満が表面化していること。
例：フランスで怨望隠伏の暴動がおこる。

Ⅷ　暗箭傷人・・・あんぜんしょうじん
意味：ひそかに人を陥れたリ、中傷したりする卑劣な行為のこと。
例：twitterの書き込みで暗箭傷人する人がいる。

Ⅸ　一簣の功・・・いっき(の)こう
意味：仕事が完成する寸前の最後の努力のこと。
例：このレポートはまだ一簣の功に欠ける。

Ⅹ　家内狼藉・・・かないろうぜき
意味：屋内が散らかって、雑然としているさま。
例：管理人の家は本で家内狼藉としている。

特別問題A～数学～

y＝x＋kを楕円x²＋2y²＝1に代入して整理するとx²＋2(x＋k)²＝1⇔3x²＋4kx＋2k²－1・・・①
①式の判別式をDとすると、楕円と直線が異なる2点で交わる条件は
D/4＝(2k)²－3(2k²－1)＞0⇔2k²＜3　∴－√6/2＜k＜√6/2・・・ア
①の異なる2解をα、βとすると解と係数の関係からα＋β＝－4k/3、αβ＝(2k²－1)/3
2つの交点の中点のx座標はx＝(α＋β)/2＝－2k/3
中点はy＝x＋k上の点k＝－2x/3をy＝x＋kに代入して、中点の軌跡はy＝－x/2・・・イ

特別問題B～数学～

(1) OH＝tOC(t：実数)とおける。OH＝t(1,1,0)＝(t,t,0)
HP＝OP－OH＝(x－t,y－t,z)　OC⊥HPよりOC・HP＝0
1・(x－t)＋1・(y－t)＋0・z＝0　t＝(x＋y)/2
よって、OH＝((x＋y)/2.(x＋y)/2,0)、HP＝((x－y)/2,(－x＋y)/2,z)
(2) Lは底面がABを直径に持つ円で、頂点がOの円錐である。OC＝√2、底面の半径＝AB/2＝√2である。
PがLの点であるための条件はOCを底とする高さ√2の直角二等辺三角形の周および内部にPがあることである。すなわち、PH≦OHtan(π/4)・・・①かつHが線分OC上にある。・・・②
①より|PH|²≦|OH|²⇔(x－y)²/4＋(－x²＋y²)/4＋z²≦(x＋y)²/4＋(x＋y)²/4　∴z²≦2xy・・・③
②より0≦t≦1、0≦(x＋y)/2≦1、0≦x＋y≦2・・・④
③、④より題意は示せた。
(3) ③、④でx＝aとするとz²≦2ayかつ0≦a＋y≦2、y≧z²/2aかつ－a≦y≦2－a
y＝z²/2aとy＝2－aを連立してz²＝2a(2－a)　1≦a≦2よりz＝±√{2a(2－a)}　P＝√{2a(2－a)}とおくと
$S(a)=\int^P_{-P}\{(2-a)-\frac{z^2}{2a}\}dz$

$=-\frac{1}{2a}\int^P_{-P}(z+P)(z-P)dz$

$=\frac{(P+P)^2}{2a\cdot6}$

$=\frac{2P^3}{3a}$

$=\frac{4\sqrt2}{3}(2-a)\sqrt{a(2-a)}$
(4) $V=\int^2_1 S(a)da$

$=\int^2_1\frac{4\sqrt2}{3}(2-a)\sqrt{a(2-a)}da$

$=\frac{4\sqrt2}{3}\int^2_1(2-a)\sqrt{-(a-1)^2+1}da$
a－1＝tとおくとda＝dt、a：1→2　t：0→1
$V=\int^1_0\frac{4\sqrt2}{3}(1-t)\sqrt{1-t^2}dt$
ここで$\int^1_0 \sqrt{1-t^2}dt$は半径1の四分円の面積に等しいからπ/4であり
$\int^1_0(1-t)\sqrt{1-t^2}dt$

$=-\frac{1}{2}\int^1_0(1-t^2)(1-t^2)dt$

$=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}[(1-t^2)^{\frac{3}{2}}]^1_0$

$=\frac{1}{3}$であるから
V＝4√2/3・(π/4－1/3)＝√2(3π－4)/9

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