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2688時間目 ~漢検一級~

次の問いに答えよ。

漢検一級配当読み

次の漢字の読みを記せ。

Ⅰ 妍和

Ⅱ 燭剪

Ⅲ 痩懼

Ⅳ 蔀会

音読み・語義訓読み

次の熟語の音読みとそれに適する訓読みを記せ。

Ⅰ 刳磔-刳く

Ⅱ 卓絶-絶だ

Ⅲ 掎抜-掎く

当て字・熟字訓

次の当て字・熟字訓の読みを記せ。

Ⅰ 益母草

Ⅱ 頭垢

Ⅲ 比巴

特別問題A~数学~

自然数m,nについて、x=8m+n、y=5m+2nとおく。xとyの最大公約数をdとする。

(1) m,nが互いに素ならd=1またはdー11であることを示せ。
(2) m=2のとき、d=11となる最小の自然数nを求めよ。 
[学習院大]

特別問題B~数学~

kを正の実数とし、xy平面上の2曲線C1:y=-x3+kx、C2:x2+y2=kを考える。

(1) C1とC2の共有点の個数を求めよ。
(2) C1とC2が4つの共有点を持つとする。x≧0、y≧0の範囲においてC1とC2に囲まれた2つの部分の面積をそれぞれ求めよ。 
[大阪府立大]


2688時間目模範解答

漢検一級配当読み

Ⅰ 妍和・・・けんわ
意味:景色などが、美しくなごんでいるさま。

Ⅱ 燭剪・・・しょくせん
意味:ろうそくの燃え残りの芯を切る道具。

Ⅲ 痩懼・・・そうく
意味:心配事でやせる。

Ⅳ 蔀会・・・ほうかい
意味:古代の暦法の名。

音読み・語義訓読み

Ⅰ 刳磔-刳く・・・こたく-さ(く)
意味:体を切り裂くこと。

Ⅱ 卓絶-絶だ・・・たくぜつ-はなは(だ)
意味:人波すぐれていること。ひいでていること。

Ⅲ 掎抜-掎く・・・きばつ-ひ(く)
意味:抜き取ること。

当て字・熟字訓

Ⅰ 益母草・・・めはじき[]
シソ科の越年草。

Ⅱ 頭垢・・・ふけ
頭の皮膚にできる、角質に分泌物が混じって乾いた、うろこ状の物。

Ⅲ 比巴・・・びわ[]
バラ科の常緑中高木。

特別問題A~数学~

(1) x=8m+n、y=5m+2n 2x-y=11m、8y-5x=11n
左辺はdの倍数だから右辺もdの倍数で、m,nは互いに素であるからd=1またはd=11である
(2) m=2のとき、x=16+n=11k(k:自然数)とおける。
n=11k-16 y=10+2n=10+2(11k-16)=22k-22=22(k-1)
k=1のときy=0で不適だからk=3
したがって、最小の自然数はn=33-16=17である。

特別問題B~数学~

(1) y=-x3+kxをx2+y2=kに代入すると、x2+(-x3+kx2)2=k
∴x2-k+x2(x2-k)2=0 (x2-k)(x4-kx2+1)=0 よってx2-k=0・・・①またはx4-kx2+1=0・・・②
k>0より①は異なる2つの実数解±√kをもつ。また、(±√k)4-k(±√k)2+1=k2-k2+1=1≠0であるから、x=±√kはともに②の解ではない。
②においてt=x2とおくとt2-kt+1=0・・・③ 判別式はD=k2-4
(i) k>2のとき:D=k2-4>0より③は異なる2つの実数解をもち、さらにα+β=k>0かつαβ=1>0であることからα、βはともに正の解である。よって②はことなる4つの実数解±√α、±√βを持つ。
(ii) k=2のとき:D=k2-4=0より③は重解を持つ。よって②は2つの2重解±1をもつ。
(iii) 0<k<2のとき:D=k2-4<0より③は実数解をもたない。よって②も実数解をもたない。
以上より、求める共有点の個数はk>2のとき2+4=6個、k=2のとき2+2=4個、0<k<2のとき2
(2) (1)よりC1とC2が4つの共有点を持つのはk=2のときで、共有点のx座標は±√2、±1である。さらに±1は重解であることからC1とC2は(1,1)(-1,-1)で接していることもわかる。
x≧0、y≧0の範囲で囲まれた2つの部分をS1(赤)、S2(橙)とする()
$S_1=\pi(\sqrt2)^2×\frac{1}{8}+\frac{1}{2}\cdot1\cdot1-\int^1_0(-x^3+2x)dx$

$=\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}-[-\frac{x^4}{4}+x^2]^1_0$

$=\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}-(-\frac{1}{4}+1)=\frac{\pi-1}{4}$
また
$S_2=\pi(\sqrt2)^2×\frac{1}{8}-\frac{1}{2}\cdot1\cdot1-\int^{\sqrt2}_1(-x^3+2x)dx$

$=\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}-[-\frac{x^4}{4}+x^2]^{\sqrt2}_1$

$=\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}-\{(-1+2)-(-\frac{1}{4}+1)\}=\frac{\pi-3}{4}$

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