漢字戦場　～ブレイズム漢字講座ブログ～

2687時間目　～総合問題～

次の漢字の読みを記せ。

レベルⅠ

Ⅰ　塔勢

Ⅱ　正体を現す

Ⅲ　博施済衆

Ⅳ　剖腹

レベルⅡ

Ⅰ　嚢中無一物

Ⅱ　媚笑

Ⅲ　嫌憚

レベルⅢ

Ⅰ　溪巒

Ⅱ　虞殯

Ⅲ　鼎鬲

特別問題A～数学～

次の[　]を埋めなさい。

関数f(θ)＝2sin⁴θ－3sinθcos²θ＋2cos2θを考える。

(1) x＝sinθとおくとf(θ)はxの整式2x⁴＋[ア]x³－[イ]x²－[ウ]x＋[エ]で表すことができる。さらにこの式は(x＋1)(x－[オ])(x＋[カ])([キ]x－[ク])と書くことができる。
(2) nを0≦n≦24の範囲で動く整数とする。θがnπ/12で表される25個の値とするとき、 f(θ)＝0を満たすものはそのうち[ケ]個、f(θ)＞0を満たすものはそのうち[コ]個である。　[東京理科大]

特別問題B～数学～

極方程式r＝1＋cosθ(0≦θ≦π)で表される曲線の長さを求めよ。　[京都大]

2687時間目模範解答

レベルⅠ

Ⅰ　塔勢・・・とうせい
意味：塔のそびえたっているありさま。

Ⅱ　正体を現す・・・しょうたい(を)あらわ(す)
意味：それまで隠されていた本来の姿・本質を現す。

Ⅲ　博施済衆・・・はくしさいしゅう
意味：広く恩恵を施し、民衆を苦難から救う。

Ⅳ　剖腹・・・ほうふく
意味：腹を切り裂く。

レベルⅡ

Ⅰ　嚢中無一物・・・のうちゅうむいちぶつ
意味：財布の中に一文の金もない。

Ⅱ　媚笑・・・びしょう
意味：こびわらう。おせじわらい。

Ⅲ　嫌憚・・・けんたん
意味：きらいはばかる。忌みはばかる。

レベルⅢ

Ⅰ　溪巒・・・けいらん
意味：谷と山。

Ⅱ　虞殯・・・ぐひん
意味：葬を送るときの歌曲。

Ⅲ　鼎鬲・・・ていれき
意味：かなえと、足の間の広い一種のかなえ。

特別問題A～数学～

(1) x＝sinθとおくと
f(θ)＝2sin⁴θ－3sinθcos²θ＋2cos2θ＝2sin⁴θ－3sinθ(1－sin²θ)＋2(1－2sin²θ)＝2sin⁴θ＋3sin³θ－4sin²θ－3sinθ＋2＝2x⁴＋3x³－4x²－3x＋2＝(x＋1)(x－1)(2x²＋3x－2)＝(x＋1)(x－1)(x＋2)(2x－1)
(2) (1)の結果と－1≦x≦1よりf(θ)＝0⇔x＝－1,1,1/2⇔sinθ＝－1,1,1/2(0≦θ≦2π)⇔18π/12,6π/12,2π/12,10π/12
よってnπ/24(0,1,2,…,24)のうちf(θ)＝0を満たすものは4個ある。また
f(θ)＞0⇔－1＜x＜1/2⇔－1＜sinθ＜1/2⇔0≦θ＜2π/12,10π/12＜θ＜24π/12
θ＝nπ/12(n＝0,1,11,12,…,17,19,…24)であるからf(θ)＞0を満たすものは15個ある

答　ア：3　イ：4　ウ：3　エ：2　オ：1　カ：2　キ：2　ク：1　ケ：4　コ：15

特別問題B～数学～

極方程式r＝1＋cosθ(0≦θ≦π)・・・①を直交座標(x,y)であらわすとx＝rcosθ＝(1＋cosθ)cosθ、y＝rsinθ＝(1＋cosθ)sinθ　したがって
dx/dθ＝－sinθcosθ＋(1＋cosθ)・(－sinθ)＝－sinθ－2sinθcosθ－sinθ－sin2θ
dy/dθ＝－sinθsinθ＋(1＋cosθ)cosθ＝cosθ＋cos²θ－sin²θ＝cosθ＋cos2θ
∴(dx/dθ)²＋(dy/dθ)²＝(－sinθ－sin2θ)²＋(cosθ＋cos2θ)²＝2＋2(cos2θcosθ＋sin2θsinθ)＝2＋2cos(2θ－θ)＝2(1＋cosθ)＝4cos²(θ/2)
よって、求める曲線の長さは
$L=\int^\pi_0 \sqrt{(\frac{dx}{dθ})^2+(\frac{dy}{dθ})^2}dθ$

$=\int^\pi_0 \sqrt{4\cos^2\frac{θ}{2}}dθ$

$=\int^\pi_02\cos\frac{θ}{2}dθ$

$=[4\sin\frac{θ}{2}]^\pi_0=4$

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