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3726時間目 ～諺・四字熟語～
次の漢字の読みを記せ。
ことわざ
Ⅰ 引き垂れ嚇し
Ⅱ 彼岸太郎八専次郎土用三郎寒四郎
Ⅲ 糞食った狢
Ⅳ 鰓が過ぎる
Ⅴ 二人前は働けぬ
四字熟語
Ⅰ 孟母義方
Ⅱ 攀竜附驥
Ⅲ 万万千千
Ⅳ 千呼万喚
Ⅴ 乞食飯牛
特別問題A～雑学～
次の設問に答えなさい。
(1) 海や湖などで、ある深さを境にして水温や塩分濃度が急激に変化する層のことを何というでしょう？
(2) 用途地域により50～1300%の間で制限されている、建物の敷地面積に対する延床面積の割合を何というでしょう？
(3) 赤・青・緑の3本の曲線を組み合わせた、パラリンピックのシンボルマークのことを何というでしょう？
(4) 葬式の準備を連想させることから忌むべきであるとされる、大晦日に門松を飾り付けることを何というでしょう？
(5) ラテン語で「特定の目的のための」という意味がある、コンピューター同士がアクセスポイントを経由せずに通信を行う、無線LANの通信方式の一種を何というでしょう？
特別問題B～数学～
0≦θ＜2πのとき、関数y＝√2(sinθ＋cosθ)－2sinθcosθ＋5を考える。また、t＝sinθ＋cosθとおく。
(1) tの値の範囲を求めよ。
(2) yをtを用いて表せ。
(3) yの最大値と最小値を求めよ。また、そのときのθの値を求めよ。 [東京海洋大]
特別問題C～数学～
次の問いに答えよ。
(1) xが正の数のとき、|logx|≦|x－1|/√xを示せ。
(2) p,q,rがp＋q＋r＝1を満たす正の数のとき、p2＋q2＋r2≧1/3を示せ。
(3) a,b,cが相異なる正の数で√a＋√b＋√c＝1を満たすとき
\[ \frac{ab}{b-a}\log\frac{b}{a}+\frac{bc}{c-b}\log\frac{c}{b}+\frac{ca}{a-c}\log\frac{a}{c}\leqq\frac{1}{3} \]
を示せ。 [大阪大]
3726時間目模範解答
ことわざ
Ⅰ 引き垂れ嚇し・・・ひ(き)た(れ)おど(し)
意味：秋の初めごろに急に寒くなること。
Ⅱ 彼岸太郎八専次郎土用三郎寒四郎・・・ひがんたろうはっせんじろうどようさぶろうかんしろう
意味：彼岸の第一日目、八専の二日目、土用の三日目、寒の四日目が晴天だと、その年は豊作と言われた。
※まさかの15文字熟語(！)、故事俗信ことわざ大辞典に記載がある。
Ⅲ 糞食った狢・・・くそく(った)むじな
意味：無口な人、むっつりした人をたとえて言う。
Ⅳ 鰓が過ぎる・・・えら(が)す(ぎる)
意味：度を越して言う。いいすぎる。口が過ぎる。
Ⅴ 二人前は働けぬ・・・ににんまえ(は)はたら(けぬ)
意味：人の能力には限界があることをいう。
四字熟語
Ⅰ 孟母義方・・・もうぼぎほう
意味：孟母の家庭教育が正しかったことをいう。
Ⅱ 攀竜附驥・・・はんりょうふき
意味：有力者や優れた人物に付き従って出世しようとするたとえ。
Ⅲ 万万千千・・・ばんばんせんせん
意味：数の限りなく多いことの形容。
Ⅳ 千呼万喚・・・せんこばんかん
意味：何度も何度も大声で呼びかけること。
Ⅴ 乞食飯牛・・・きっしょくはんぎゅう
意味：いやしい身分のたとえ。また、貧賤の身分から出世することのたとえ。
特別問題A～雑学～
(1) 躍層
(2) 容積率
(3) スリーアギトス
(4) 一夜飾り
(5) アドホック
特別問題B～数学～
(1) t＝sinθ＋cosθよりt＝√2(θ＋π/4)、0≦θ＜2πより、tのとり得る値の範囲は－√2≦t≦√2
(2) t2＝(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθより、2sinθcosθ＝t2－1であるから
y＝√2t－(t2－1)＋5＝－t2－√2t＋6
(3) (2)よりy＝－(t－√3/2)2＋13/2、－√2≦t≦√2であるから、tは√2/2のとyは最大値13/2をとる。
このとき√2sin(θ＋π/4)＝√2/3、sin(θ＋π/4)＝1/2、0≦θ＜2πよりθ＋π/4＝5π/6、13π/6であるから、θ＝7π/12、23π/12
また、t＝－√2のときyは最小値2をとる。このときsin(θ＋π/4)＝－1よりθ＋π/4＝3π/2、∴θ＝5π/4
特別問題C～数学～
(1) f(x)＝(x－1)/√x－logxとおくと
$f'(x)=\cfrac{\sqrt x-\cfrac{x-1}{2\sqrt x}}{x}-\cfrac{1}{x}=\cfrac{(\sqrt x-1)^2}{2x\sqrt x}\geqq0$
よって、f(x)は単調増加でf(1)＝0であるから、0＜x≦1のときf(x)＝(x－1)/√x－logx≦0から(x－1)/√x≦logx≦0
1≦xのとき、f(x)＝(x－1)/√x－logx≧0から、(x－1)/√x≧logx≧0
いずれのときにも|logx|≦|x－1|/√xが成り立つ。
(2) p,q,rがp＋q＋r＝1を満たすとき
3(p2＋q2＋r2)－1＝3(p2＋q2＋r2)－(p＋q＋r)2＝2(p2＋q2＋r2－pq－qr－rp)＝(p－q)2＋(q－r)2＋(r－p)2≧0
よってp2＋q2＋r2≧1/3が成り立つ。
(3) ab/(b－a)とlog(b/a)は同符号なので(1)の不等式を用いてab/(b－a)log(b/a)＝ab/|b－a||log(b/a)|≦ab/|b－a|・|b/a－1|/√(b/a)＝ab/|b－a|・|b－a|/√ab＝√ab
同様にしてbc/(b－c)log(b/c)≦√bc、ca/(c－a)log(a/c)≦√ca 3つの不等式を辺々加えると
\[ \frac{ab}{b-a}\log\frac{b}{a}+\frac{bc}{c-b}\log\frac{c}{b}+\frac{ca}{a-c}\log\frac{a}{c}\leqq\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca} \]・・・①
ここで(2)の不等式でp＝√a、q＝√b、r＝√cとおくと、√a＋√b＋√c＝1のとき、a＋b＋c≧1/3が成り立つから
√ab＋√bc＋√ca＝1/2・{(√a＋√b＋√c)2＋(a＋b＋c)}＝1/2・{1－(a＋b＋c)}≦1/2・(1－1/3)＝1/3・・・②
①、②より
\[ \frac{ab}{b-a}\log\frac{b}{a}+\frac{bc}{c-b}\log\frac{c}{b}+\frac{ca}{a-c}\log\frac{a}{c}\leqq\frac{1}{3} \]
が成り立つ。
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