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3326時間目 ～漢検一級～
次の漢字の読みを記せ。
SET－A－
Ⅰ 醵資
Ⅱ 郭索
Ⅲ 鄙争
Ⅳ 陵窘
SET－B－
Ⅰ 無狎
Ⅱ 湿痺
Ⅲ 瀛表
Ⅳ 球棍
SET－C－
Ⅰ 亡謂
Ⅱ 佻長
Ⅲ 偸啼
Ⅳ 丹眸
特別問題A～数学～
整数a,b,cに対して、f(x)＝x3＋ax2＋bx＋cとする。方程式f(x)＝0は少なくとも1つの整数解をもつとする。
(1) cは方程式f(x)＝0の整数解の倍数であることを証明せよ。
(2) c＝1のとき、a＝bまたはa＋b＋2＝0であることを証明せよ。 [津田塾大]
特別問題B～数学～
関数f(x)＝|x|√(x＋1) (－1≦x)がある。
(1) －1≦x≦0におけるf(x)の最大値とそのときのxの値を求めよ。
(2) 連立不等式－1≦x≦1、0≦y≦f(x)の表す領域をDとする。Dの面積を求めよ。
(3) Dをx軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めよ。 [山形大]
特別問題C～化学～
ランタノイド収縮とは何か。また、なぜこのような現象が起こるか説明せよ。
3326時間目模範解答
SET－A－
Ⅰ 醵資・・・きょし
意味：衆人から金を集める。
Ⅱ 郭索・・・こうさく
意味：蟹のがさがさと行く形容。また、蟹。転じて、心の定まらないさま。
Ⅲ 鄙争・・・ひそう
意味：いやしい争いをする。いやしい争い。
Ⅳ 陵窘・・・りょうきん
意味：せまりくるしむ。
SET－B－
Ⅰ 無狎・・・むこう
意味：なれかろんずることがない。
Ⅱ 湿痺・・・しっぴ
意味：リウマチのような関節の痛む病気。
Ⅲ 瀛表・・・えいひょう
意味：海外をいう。
Ⅳ 球棍・・・きゅうこん
意味：野球のバット。
SET－C－
Ⅰ 亡謂・・・むい
意味：いわれがない。意味がない。
Ⅱ 佻長・・・ちょうちょう
意味：身軽で長大なさま。
Ⅲ 偸啼・・・とうてい
意味：人に知れぬように泣く。忍び泣き。
Ⅳ 丹眸・・・たんぼう
意味：色のあかいひとみ。
特別問題A～数学～
(1) f(x)＝0が整数解をもつとき、x3＋ax2＋bx＋c＝0・・・①
－x(x2＋ax＋b)＝c a,bは整数であるからx,x2＋ax＋bはともに整数である。したがって、cはxの倍数である。
(2) (1)より、整数解はcの約数であるからc＝1のとき整数解xは±1である。
x＝1のとき、1＋a＋b＋1＝a＋b＋2＝0
x＝－1のとき、－1＋a－b＋1＝0、a＝b
特別問題B～数学～
(1) －1≦x≦0のとき、f(x)＝|x|√(x＋1)＝－x√(x＋1)
f'(x)＝－{√(x＋1)＋x/2√(x＋1)}＝－(3x＋2)/2√(x＋1)、f'(x)＝0とするとx＝－2/3
よって、－1≦x≦0の範囲におけるf(x)＝の増減表は次の通りになる。
$
\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|} \hline
x & -1 & \cdots & -\cfrac{2}{3} & \cdots & 0 \\ \hline
f'(x) & & + & 0 & - & \\ \hline
f(x) & 0 & \nearrow & 極大 & \searrow & 0 \\ \hline
\end{array}
$
よって、f(x)の最大値はx＝－2/3のときf(－2/3)＝2/3・√{－(2/3)＋1}＝2√3/9
(2) 0≦x≦1のとき、f(x)＝x√(x＋1)、f'(x)＝(3x＋2)/2√(x＋1)＞0、ここでf(0)＝0、f(1)＝√2よりf(x)≧0
ゆえに－1≦x≦1のの表す領域Dの面積Sは
$S=\int^1_{-1}|x|\sqrt{x+1}dx=-\int^0_{-1}x\sqrt{x+1}dx+\int^1_0x\sqrt{x+1}dx$
ここで、√(x＋1)＝tとおくと、x＝t2－1、dx＝2tdt、したがって
$S=-\int^1_0(t^2-1)t\cdot2tdt+\int^{\sqrt2}_1(t^2-1)t\cdot2tdt$
$=2\int^1_0(t^2-t^4)dt+2\int^{\sqrt2}_1(t^4-t^2)dt$
$=2[\frac{t^3}{3}-\frac{t^5}{5}]^1_0+2[\frac{t^3}{3}-\frac{t^5}{5}]^{\sqrt2}_1=\color{blue}{\cfrac{8+4\sqrt2}{15}}$
(3) 求める体積Vは
$V=\pi\int^1_{-1}\{f(x)\}^2dx=\pi\int^1_{-1}x^2(x+1)dx$
$=\pi\int^1_{-1}(x^3+x^2)dx=2\pi\int^1_0x^2dx$
$=2\pi[\frac{x^3}{3}]^1_0=\color{red}{\cfrac{2}{3}\pi}$
特別問題C～化学～
ランタノイドの原子半径とイオン半径は原子番号が大きくなるほど小さくなる傾向がある。これをランタノイド収縮という。ランタノイドにおいて原子番号が増加すると原子核の正電荷と4f電子の数がともに増えるが、4f電子は内殻に存在するため数が増えても原子半径には影響を及ぼさない。このため原子核の正電荷が最外殻電子を引き寄せる効果の方が大きくなり、原子番号の増加に伴い原子半径とイオン半径は減少する傾向を示す。
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