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2535時間目 ～漢検一級～
次の問いに答えよ。
漢検一級配当読み
次の漢字の読みを記せ。
Ⅰ 結駟
Ⅱ 投靠
Ⅲ 讌私
Ⅳ 讖記
四字熟語・諺
次の四字熟語・諺の読みと意味を記せ。
Ⅰ 腸を刮り胃を洗う
Ⅱ 豕交獣畜
Ⅲ 鄒魯遺風
類義語
次の熟語の類義語を下の「 」から選び漢字で記せ。
Ⅰ 寰宇
Ⅱ 仰慕
Ⅲ 歴史
「おうは・きょうおう・こんち・しじょう・よち」
特別問題A～数学～
y＝1/x上の2点A,Bを結ぶ線分の中点をPとする。A,Bがy＝1/x上を任意に動くとき、点Pが存在する領域を図示せよ。
特別問題B～数学～
xyz空間に3点O(0,0,0),A(1,0,1),B(0,√3,1)がある。平面z＝0に含まれ、中心がO、半径が1の円をWとする。点Pが線分OA上を、点Qが円Wの周および内部を動くとき、OR＝OP＋OQを満たす点R全体が作る立体をVAとする。同様に点Pが線分OB上を、点Qが円Wの周および内部を動くとき、OR＝OP＋OQを満たす点R全体が作る立体をVBとおく。さらにVAとVBの重なり合う部分をVとする。このとき、以下の問いに答えよ。
(1) 平面z＝cosθ(0≦θ≦π/2)による立体Vの切り口の面積をθを用いて表せ。
(2) 立体Vの体積を求めよ。 [大阪大]
2535時間目模範解答
漢検一級配当読み
Ⅰ 結駟・・・けっし
意味：馬車に四頭の馬をつなぐ。
Ⅱ 投靠・・・とうこう
意味：身を寄せて頼る。
Ⅲ 讌私・・・えんし
意味：ひそかに酒盛りをする。また、くつろいで休む。
Ⅳ 讖記・・・しんき
意味：未来の出来事を予言して書き記したもの。
四字熟語・諺
Ⅰ 腸を刮り胃を洗う・・・ちょう(を)けず(り)い(を)あら(う)
意味：汚悪を去って善に移り変わるたとえ。改心するたとえ。
Ⅱ 豕交獣畜・・・しこうじゅうちく
意味：人をけだもの同様に扱うこと。
Ⅲ 鄒魯遺風・・・すうろいふう
意味：孔子と孟子の教えのこと。
類義語
Ⅰ 輿地
意味：大地。地球全体。全世界。
Ⅱ 郷往、嚮往
意味：尊び慕うこと。
Ⅲ 史乗
意味：歴史上の事実。また、史実を記録したもの。
特別問題A～数学～
A(a,1/a),B(b,1/b)(a≠0、b≠0、a≠b)とし、P(x,y)とする。
点Pは線分ABの中点だからx＝(a＋b)/2・・・①、y＝(1/a＋1/b)/2＝(a＋b)/2ab・・・②
①よりa＋b＝2x・・・③ ③を②に代入してy＝x/ab・・・④ ④よりy≠0のときx≠0で、ab＝x/y・・・⑤
③、⑤よりa,bはtについての二次方程式t^2－2xt＋x/y＝0・・・⑥の異なる2つの0でない実数解である。
y≠0のときx≠0だから⑥はt＝0を解に持たない。したがって、⑥の判別式をDとすると、弧となる2つの0でない実数解をもつ条件はD＞0
D/4＝x^2－x/y＝{x(xy－1)}/y＞0 両辺にyを掛けるとxy(xy－1)＞0
これよりxy＜0、1＜xy xy＜0よりx＞0,y＜0またはx＜0,y＞0
1＜xyよりx＞0,y＞1/xまたはx＜0,y＜1/x
また、y＝0のとき②よりa＋b＝0 このとき①よりx＝0 したがってP(0,0)は領域に含まれる。
よって、点Pが存在する領域は図で、境界線は原点(0,0)だけ含む。
特別問題B～数学～
(1) VAはOR＝s(1,0,1)＋t(cosp,sinp,0)(0≦s≦1,0≦t≦1,0≦p＜2π)をみたす点R全体が作る立体であり、VBはOR=s(0,√3,1)＋t(cosp,sinp,0)(条件同じ)をみたす点R全体が作る立体である。
よって平面cosθ(0≦θ≦π/2)によるVAの切り口は円CA：(x－cosθ)2＋y2＝1,z＝cosθの周および内部であり、同じ平面の切り口は円CB：x2＋(y－√3cosθ)2＝1,z＝cosθの周および内部である。
したがって、VAとVBの重なり合う部分Vの切り口は図の青色部である。いま、円CA,CBの中心をそれぞれOA,OB、2円の交点をD,E、直線OAOBと直線DEの交点をMとすると
OAOB＝√{(cosθ)2＋(√3cosθ)2}＝2cosθ ∴OAM＝cosθ
これとOAD＝1から∠DOAM＝θ よって、Vの切り口の面積をS(θ)とすると対称性を考えて
S(θ)＝2(扇形OADE－△OADE)＝2(1/2・12・2θ－1/2・12・sin2θ)＝2θ－sin2θ
(2) Vの体積は
$\int^1_0 S(θ)dz$
(z＝cosθ)であり、zをθで置換すると z：0→1、θ：π/2→0、dz＝－sinθdθ
よって
$V=\int^1_0 S(θ)dz$
$=\int^0_\frac{π}{2} (2θ-\sin2θ)(-\sinθ)dθ$
$=2\int^\frac{π}{2}_0 θ\sinθdθ-\int^\frac{π}{2}_0 \sinθ\sin2θdθ$
$=2([-θ\cosθ]^\frac{π}{2}_0+\int^\frac{π}{2}_0\cosθdθ)-2\int^\frac{π}{2}_0 \sin^2θ\cosθdθ$
$=2[\sinθ]^\frac{π}{2}_0-2\left[\frac{1}{3}\sin^3θ\right]^\frac{π}{2}_0$
$=2-\frac{3}{2}=\frac{4}{3}$