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2535時間目 ~漢検一級~

次の問いに答えよ。

漢検一級配当読み

次の漢字の読みを記せ。

Ⅰ 結駟

Ⅱ 投靠

Ⅲ 讌私

Ⅳ 讖記

四字熟語・諺

次の四字熟語・諺の読みと意味を記せ。

Ⅰ 腸を刮り胃を洗う

Ⅱ 豕交獣畜

Ⅲ 鄒魯遺風

類義語

次の熟語の類義語を下の「 」から選び漢字で記せ。

Ⅰ 寰宇

Ⅱ 仰慕

Ⅲ 歴史

「おうは・きょうおう・こんち・しじょう・よち」

特別問題A~数学~

y=1/x上の2点A,Bを結ぶ線分の中点をPとする。A,Bがy=1/x上を任意に動くとき、点Pが存在する領域を図示せよ。

特別問題B~数学~

xyz空間に3点O(0,0,0),A(1,0,1),B(0,√3,1)がある。平面z=0に含まれ、中心がO、半径が1の円をWとする。点Pが線分OA上を、点Qが円Wの周および内部を動くとき、OROPOQを満たす点R全体が作る立体をVAとする。同様に点Pが線分OB上を、点Qが円Wの周および内部を動くとき、OROPOQを満たす点R全体が作る立体をVBとおく。さらにVAとVBの重なり合う部分をVとする。このとき、以下の問いに答えよ。

(1) 平面z=cosθ(0≦θ≦π/2)による立体Vの切り口の面積をθを用いて表せ。
(2) 立体Vの体積を求めよ。 [大阪大]


2535時間目模範解答

漢検一級配当読み

Ⅰ 結駟・・・けっし
意味:馬車に四頭の馬をつなぐ。

Ⅱ 投靠・・・とうこう
意味:身を寄せて頼る。

Ⅲ 讌私・・・えんし
意味:ひそかに酒盛りをする。また、くつろいで休む。

Ⅳ 讖記・・・しんき
意味:未来の出来事を予言して書き記したもの。

四字熟語・諺

Ⅰ 腸を刮り胃を洗う・・・ちょう(を)けず(り)い(を)あら(う)
意味:汚悪を去って善に移り変わるたとえ。改心するたとえ。

Ⅱ 豕交獣畜・・・しこうじゅうちく
意味:人をけだもの同様に扱うこと。

Ⅲ 鄒魯遺風・・・すうろいふう
意味:孔子と孟子の教えのこと。

類義語

Ⅰ 輿地
意味:大地。地球全体。全世界。

Ⅱ 郷往、嚮往
意味:尊び慕うこと。

Ⅲ 史乗
意味:歴史上の事実。また、史実を記録したもの。

特別問題A~数学~

A(a,1/a),B(b,1/b)(a≠0、b≠0、a≠b)とし、P(x,y)とする。
点Pは線分ABの中点だからx=(a+b)/2・・・①、y=(1/a+1/b)/2=(a+b)/2ab・・・②
①よりa+b=2x・・・③ ③を②に代入してy=x/ab・・・④ ④よりy≠0のときx≠0で、ab=x/y・・・⑤
③、⑤よりa,bはtについての二次方程式t^2-2xt+x/y=0・・・⑥の異なる2つの0でない実数解である。
y≠0のときx≠0だから⑥はt=0を解に持たない。したがって、⑥の判別式をDとすると、弧となる2つの0でない実数解をもつ条件はD>0
D/4=x^2-x/y={x(xy-1)}/y>0 両辺にyを掛けるとxy(xy-1)>0
これよりxy<0、1<xy xy<0よりx>0,y<0またはx<0,y>0
1<xyよりx>0,y>1/xまたはx<0,y<1/x
また、y=0のとき②よりa+b=0 このとき①よりx=0 したがってP(0,0)は領域に含まれる。
よって、点Pが存在する領域はで、境界線は原点(0,0)だけ含む。

特別問題B~数学~

(1) VAOR=s(1,0,1)+t(cosp,sinp,0)(0≦s≦1,0≦t≦1,0≦p<2π)をみたす点R全体が作る立体であり、VBOR=s(0,√3,1)+t(cosp,sinp,0)(条件同じ)をみたす点R全体が作る立体である。
よって平面cosθ(0≦θ≦π/2)によるVAの切り口は円CA:(x-cosθ)2+y2=1,z=cosθの周および内部であり、同じ平面の切り口は円CB:x2+(y-√3cosθ)2=1,z=cosθの周および内部である。
したがって、VAとVBの重なり合う部分Vの切り口はの青色部である。いま、円CA,CBの中心をそれぞれOA,OB、2円の交点をD,E、直線OAOBと直線DEの交点をMとすると
OAOB=√{(cosθ)2+(√3cosθ)2}=2cosθ ∴OAM=cosθ
これとOAD=1から∠DOAM=θ よって、Vの切り口の面積をS(θ)とすると対称性を考えて
S(θ)=2(扇形OADE-△OADE)=2(1/2・12・2θ-1/2・12・sin2θ)=2θ-sin2θ
(2) Vの体積は
$\int^1_0 S(θ)dz$
(z=cosθ)であり、zをθで置換すると z:0→1、θ:π/2→0、dz=-sinθdθ
よって
$V=\int^1_0 S(θ)dz$

$=\int^0_\frac{π}{2} (2θ-\sin2θ)(-\sinθ)dθ$

$=2\int^\frac{π}{2}_0 θ\sinθdθ-\int^\frac{π}{2}_0 \sinθ\sin2θdθ$

$=2([-θ\cosθ]^\frac{π}{2}_0+\int^\frac{π}{2}_0\cosθdθ)-2\int^\frac{π}{2}_0 \sin^2θ\cosθdθ$

$=2[\sinθ]^\frac{π}{2}_0-2\left[\frac{1}{3}\sin^3θ\right]^\frac{π}{2}_0$

$=2-\frac{3}{2}=\frac{4}{3}$

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2536時間目 ~諺・四字熟語~

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