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2534時間目 ～BASIC～
次の漢字の読みを記せ。
レベルⅠ
Ⅰ 段別
Ⅱ 挙世
Ⅲ 知己朋友
Ⅳ 三方一両損
レベルⅡ
Ⅰ 拘介
Ⅱ 曼延
Ⅲ 誠惶誠恐
レベルⅢ
Ⅰ 遏佚
Ⅱ 蠖略
Ⅲ 虺韡
特別問題A～数学～
xの3次方程式x3－3ax2＋3a3＋3a2－2a＝0が相異なる3実解を持つための条件を求めよ。但し、a＞0とする。 [津田塾大]
特別問題B～数学～
複素数平面上の3点z,1/zおよびzの共役複素数zを頂点とする三角形が直角三角形になるようなzの軌跡を求めよ。 [横浜市立大]
2534時間目模範解答
レベルⅠ
Ⅰ 段別・・・だんべつ
意味
①：田畑を一反ごとに分けること。
②：土地の広さ。
Ⅱ 挙世・・・きょせい
意味：世をあげて。世間の人こぞって。
Ⅲ 知己朋友・・・ちきほうゆう
意味：よく自分のことを知ってくれている友人のこと。
Ⅳ 三方一両損・・・さんぽういちりょうぞん
意味：皆が少しずつ損をすれば負担が軽減するというたとえ。
レベルⅡ
Ⅰ 拘介・・・こうかい
意味：清廉潔白で、他人に左右されないこと。
Ⅱ 曼延・・・まんえん
意味：連なり続いて絶えないさま。
Ⅲ 誠惶誠恐・・・せいこうせいきょう
意味：まことに恐れかしこまること。
レベルⅢ
Ⅰ 遏佚・・・あついつ
意味：とどめ失う。
Ⅱ 蠖略・・・かくりゃく
意味：進んだり止まったりする様子。
Ⅲ 虺韡・・・きい
意味：さかんで多い様子。また、光り輝く様子。
特別問題A～数学～
f(x)＝x3－3ax2＋3a3＋3a2－2aとおく。
f'(x)＝3x2－6ax＝3x(x－2a) a＞0だからf(x)はx＝0のとき極大値、x＝2aのとき極小値をとる。
よって方程式f(x)＝0が異なる3つの実数解をもつためにはf(0)＞0かつf(2a)＜0が成り立てばよい。
すなわち f(0)＝3a3＋3a2－2a＝a(3a2＋3a－2)＞0
∴(－3＋√33)/6＜a・・・① f(2a)＝－a3＋3a2－2a＝－a(a－1)(a－2)＜0
∴0＜a＜1、2＜a・・・② ①、②より(－3＋√33)/6＜a＜1、2＜a
特別問題B～数学～
z＝r(cosθ＋isinθ) (0＜θ＜π/2)とおくと、z＝r{cos(－θ)＋isin(－θ)}、1/z＝1/r・{cos(－θ)＋isin(－θ)}
複素平面上にとったこれらの点をそれぞれA,B,Cとすれば、偏角が等しいから、原点OとB,Cが一直線上にある。
A,Bは実軸に関して対称であるから∠BAC、∠CBAは直角にはなり得ない。よって△ABCが直角三角形となるのは∠Cが直角のときで、∠AOB＝2θ、OA＝r、OC＝1/rだからAC2＝r2＋1/r2＝2cos2θ、BC2＝(r－1/r)2
また、ABは2rsinθだから4r2sin2θ＝2(r2＋1/r2)－2(1＋cos2θ)
x＝rcosθ、y＝rsinθ、r＝x2＋y2で1＋cos2θ＝2cos2θだから
2(x2＋y2)y2＝(x2＋y2)2－2x2＋1 ∴x4－2x2＋1－y4＝0
(x2－1)2－y4＝(x2－y2－1)(x2＋y2－1)＝0 x2＋y2＝1だとr＝1＝1/rで題意に適さないからx2－y2＝1、但しy＝0のときはx＝±1で適さない。
ゆえに軌跡は(±1,0)を除いた双曲線x2－y2＝1である。