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2387時間目 ～通常更新～
次の漢字の読みを記せ。
レベルⅠ
Ⅰ 親信
Ⅱ 誕放
Ⅲ 阜昌
Ⅳ 紫電清霜
レベルⅡ
Ⅰ 蹈渉
Ⅱ 美曼
Ⅲ 寒巌枯木
レベルⅢ
Ⅰ 拖欠
Ⅱ 喊声
Ⅲ 兀者
特別問題A～数学～
鋭角三角形ABCにおいて、AB＝√3＋1、∠ABC＝π/4とし、△ABCの外接円の半径を√2とする。また、∠BACの二等分線と辺BCとの交点をDとする。
(1) cos∠ACBを求めよ。
(2) CDの長さを求めよ。
(3) △ACDの面積を求めよ。 [富山大]
特別問題B～数学～
次の問いに答えよ。
(1) z6＋27＝0を満たす複素数zをすべて求め、それらを表す点を複素数平面上に図示せよ。
(2) (1)で求めた複素数zを偏角が小さいほうから順にz1,z2,…,とするとき、z1,z2と積z1z2を表す3点が複素数平面上で一直線上にあることを示せ。但し、偏角は0以上2π未満とする。 [金沢大]
2387時間目模範解答
レベルⅠ
Ⅰ 親信・・・しんしん
意味：したしみ信頼する。親しみ近づけて信任する。
Ⅱ 誕放・・・たんほう
意味：大いにほしいまま、気まま勝手なこと。
Ⅲ 阜昌・・・ふしょう
意味：さかん。豊富で盛んなこと。
Ⅳ 紫電清霜・・・しでんせいそう
意味：容姿がすぐれて節操の堅い形容。
レベルⅡ
Ⅰ 蹈渉・・・とうしょう
意味：ふみにじる。
Ⅱ 美曼・・・びまん
意味：美しい。
Ⅲ 寒巌枯木・・・かんがんこぼく
意味：世俗を超越して無心の境地にあること。
レベルⅢ
Ⅰ 拖欠・・・たけん
意味：とどこおる。期限が過ぎても納付・返済などをすまさないこと。
Ⅱ 喊声・・・かんせい
意味：勇み立ってあげる大きな声。鬨の声。
Ⅲ 兀者・・・ごつしゃ
意味：足切りの刑を受けた人。
特別問題A～数学～
(1) △ABCに正弦定理を用いて、(√3＋1)/sin∠ACB＝2√2
sin∠ACB＝(√3＋1)/2√2＝(√6＋√2)/4
よってcos2∠ACB＝1－{(√3＋1)/2√2}2＝{(√3－1)/2√2}2
△ABCは鋭角三角形であるからcos∠ACB＞0よりcos∠ACB＝(√3－1)/2√2＝(√6－√2)/4
(2) △ABCに正弦定理を用いてAC/sin(π/4)＝2√2よりAC＝2
∠ABC、∠ACBが鋭角であるから、頂点Aから対辺BCへ下した垂線の足をHとすると、BC＝BH＋HC＝ABcos∠ABC＋ACcos∠ACB
(1)の結果により、BC＝(√3＋1)√2/2＋2・(√6－√2)/4＝√6
また、線分ADは∠BACを2等分するからBD：DC＝BA：AC＝(√3＋1)：2
よってCD＝BC・2/{(√3＋1)＋2}＝2√6/(√3＋3)＝√6－√2
(3) △ACDの面積は(1),(2)より
△ACD＝1/2・AC・ADsin∠ACB＝1/2・2・(√6－√2)・(√6＋√2)/4＝1
特別問題B～数学～
(1) z6＋27＝0からz6＝－27・・・① ①を満たす複素数zをz＝r(cosθ＋isinθ) (r＞0,0≦θ＜2π)とおくと
z6＝r6(cos6θ＋isin6θ) また、－27＝27(cosπ＋isinπ)
ゆえに①よりr6(cos6θ＋isin6θ)＝27(cosπ＋isinπ)
r6＝27よりr＝√3、6θ＝π＋2kπからθ＝π/6＋kπ/3
0≦θ＜2πとなるkはk＝0,1,2,3,4,5
よって①を満たす複素数z＝3/2±√3/2i、－3/2＋√3/2i、±√3i
これらを複素数平面上に図示すると図。
(2) (1)からz1＝3/2＋√3/2i、z2＝√3i、z1z2＝(3/2＋√3/2i)√3i＝－3/2＋3√3/2i
ゆえにz1－z2＝(3/2＋√3/2i)－√3i＝3/2－√3/2i
z1z2－z2＝(－3/2＋3√3/2i)－√3i＝－3/2＋√3/2i
∴z1z2－z2＝－(z1－z2)＝(cosπ＋isinπ)(z1－z2)
z1z2を表す点はz2を表す点を中心としてz1を表す点をπだけ回転した点であるから、3点は一直線上にある ■