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2387時間目 ~通常更新~

次の漢字の読みを記せ。

レベルⅠ

Ⅰ 親信

Ⅱ 誕放

Ⅲ 阜昌

Ⅳ 紫電清霜

レベルⅡ

Ⅰ 蹈渉

Ⅱ 美曼

Ⅲ 寒巌枯木

レベルⅢ

Ⅰ 拖欠

Ⅱ 喊声

Ⅲ 兀者

特別問題A~数学~

鋭角三角形ABCにおいて、AB=√3+1、∠ABC=π/4とし、△ABCの外接円の半径を√2とする。また、∠BACの二等分線と辺BCとの交点をDとする。

(1) cos∠ACBを求めよ。
(2) CDの長さを求めよ。
(3) △ACDの面積を求めよ。 
[富山大]

特別問題B~数学~

次の問いに答えよ。

(1) z6+27=0を満たす複素数zをすべて求め、それらを表す点を複素数平面上に図示せよ。
(2) (1)で求めた複素数zを偏角が小さいほうから順にz1,z2,…,とするとき、z1,z2と積z1z2を表す3点が複素数平面上で一直線上にあることを示せ。但し、偏角は0以上2π未満とする。 
[金沢大]


2387時間目模範解答

レベルⅠ

Ⅰ 親信・・・しんしん
意味:したしみ信頼する。親しみ近づけて信任する。

Ⅱ 誕放・・・たんほう
意味:大いにほしいまま、気まま勝手なこと。

Ⅲ 阜昌・・・ふしょう
意味:さかん。豊富で盛んなこと。

Ⅳ 紫電清霜・・・しでんせいそう
意味:容姿がすぐれて節操の堅い形容。

レベルⅡ

Ⅰ 蹈渉・・・とうしょう
意味:ふみにじる。

Ⅱ 美曼・・・びまん
意味:美しい。

Ⅲ 寒巌枯木・・・かんがんこぼく
意味:世俗を超越して無心の境地にあること。

レベルⅢ

Ⅰ 拖欠・・・たけん
意味:とどこおる。期限が過ぎても納付・返済などをすまさないこと。

Ⅱ 喊声・・・かんせい
意味:勇み立ってあげる大きな声。鬨の声。

Ⅲ 兀者・・・ごつしゃ
意味:足切りの刑を受けた人。

特別問題A~数学~

(1) △ABCに正弦定理を用いて、(√3+1)/sin∠ACB=2√2
sin∠ACB=(√3+1)/2√2=(√6+√2)/4
よってcos2∠ACB=1-{(√3+1)/2√2}2={(√3-1)/2√2}2
△ABCは鋭角三角形であるからcos∠ACB>0よりcos∠ACB=(√3-1)/2√2=(√6-√2)/4
(2) △ABCに正弦定理を用いてAC/sin(π/4)=2√2よりAC=2
∠ABC、∠ACBが鋭角であるから、頂点Aから対辺BCへ下した垂線の足をHとすると、BC=BH+HC=ABcos∠ABC+ACcos∠ACB
(1)の結果により、BC=(√3+1)√2/2+2・(√6-√2)/4=√6
また、線分ADは∠BACを2等分するからBD:DC=BA:AC=(√3+1):2
よってCD=BC・2/{(√3+1)+2}=2√6/(√3+3)=√6-√2
(3) △ACDの面積は(1),(2)より
△ACD=1/2・AC・ADsin∠ACB=1/2・2・(√6-√2)・(√6+√2)/4=
1

特別問題B~数学~

(1) z6+27=0からz6=-27・・・① ①を満たす複素数zをz=r(cosθ+isinθ) (r>0,0≦θ<2π)とおくと
z6=r6(cos6θ+isin6θ) また、-27=27(cosπ+isinπ)
ゆえに①よりr6(cos6θ+isin6θ)=27(cosπ+isinπ)
r6=27よりr=√3、6θ=π+2kπからθ=π/6+kπ/3
0≦θ<2πとなるkはk=0,1,2,3,4,5
よって①を満たす複素数z=3/2±√3/2i、-3/2+√3/2i、±√3i
これらを複素数平面上に図示すると
(2) (1)からz1=3/2+√3/2i、z2=√3i、z1z2=(3/2+√3/2i)√3i=-3/2+3√3/2i
ゆえにz1-z2=(3/2+√3/2i)-√3i=3/2-√3/2i
z1z2-z2=(-3/2+3√3/2i)-√3i=-3/2+√3/2i
∴z1z2-z2=-(z1-z2)=(cosπ+isinπ)(z1-z2)
z1z2を表す点はz2を表す点を中心としてz1を表す点をπだけ回転した点であるから、3点は一直線上にある ■

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