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3302時間目 ~総合問題~

次の漢字の読みを記せ。

レベルⅠ

Ⅰ 横墜

Ⅱ 直にして温

Ⅲ 奏請

Ⅳ 虚無僧に尺八

レベルⅡ

Ⅰ 虚無僧燗

Ⅱ 而而

Ⅲ 沢梁

Ⅳ 朴撃売請

レベルⅢ

Ⅰ 賵賻

Ⅱ 軫慟

Ⅲ 辜戮

Ⅳ 靦怍

特別問題A~雑学~

次の設問に答えなさい。

(1) 英語で「居眠り」という意味がある、一度止めても何度もアラームが鳴る目覚まし時計の機能を何というでしょう?
(2) もとは立春・立夏・立秋・立冬の直前約18日間ずつのことを指した雑節の一つで、現在は夏のこの日に鰻を食べることでおなじみなのは何でしょう?
(3) 兵庫県明石市の名産品「海藤花」とは、どんな生き物の卵を塩漬けにしたものでしょう?
(4) ウニの口の部分にある、食べ物を噛み砕く機関のことを、あるギリシャの哲学者の名前から「何のちょうちん」というでしょう?
(5) 国境を越えて移動する有害廃棄物の規制を定めた条約を、締結されたスイスの地名から何というでしょう?

特別問題B~数学~

双曲線H:x2/2-y2/3=1について、次の問いに答えよ。但し、p>0とする。

(1) y軸上の点A(0,p)を中心とし、双曲線Hとちょうど2点を共有する円の面積を面積S1を求めよ。
(2) y軸上の点A(0,p)を中心とし、双曲線Hの2つの漸近線と接する円の面積S2を求めよ。
(3) pがp>0の範囲を動くとき、S2/S1の撮り得る値の範囲を求めよ。 
[広島大]

特別問題C~数学~

行列$A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$によるxy平面の1次変換fが次の2つの性質をもつとき、Aをaのみを用いて表せ。

(i) 点P(1,1)に対してf(P)=Pが成り立つ。
(ii) 平面上に点X(x,y)およびX'=f(X)に対してX,X'から原点OとPを通る直線XH、X'H'とするとき、XH=X'H'がXのとり方によらず成り立つ。 
[東京工業大]


3302時間目模範解答

レベルⅠ

Ⅰ 横墜・・・おうつい
意味:涙などが盛んに落ちること。

Ⅱ 直にして温・・・ちょく(にして)おん
意味:正直で温情のあること。

Ⅲ 奏請・・・そうせい
意味:天子に奏上して裁可を求めること。

Ⅳ 虚無僧に尺八・・・こむそう(に)しゃくはち
意味:つきもののたとえ。

レベルⅡ

Ⅰ 虚無僧燗・・・こむそうかん
意味:酒のかんの熱いのをいう。

Ⅱ 而而・・・じじ
意味:ひげや組みひもなどが長く垂れさがるさま。

Ⅲ 沢梁・・・たくりょう
意味:水中に仕掛けて魚を捕る装置。

Ⅳ 朴撃売請・・・ぼくげいばいせい
意味:撃ちすえて痛めつけ罪を許すことを条件に金品を貰うこと。

レベルⅢ

Ⅰ 賵賻・・・ぼうふ
意味:喪主に送る贈り物。

Ⅱ 軫慟・・・しんどう
意味:悲しみ、いたむ。痛哭。

Ⅲ 辜戮・・・こりく
意味:罰して殺す。また、磔にして殺す。

Ⅳ 靦怍・・・てんさく
意味:恥じて顔を赤くする。

特別問題A~雑学~

(1) スヌーズ
(2) 土用
(3) 蛸
(4) アリストテレス
(5) バーゼル条約

特別問題B~数学~

H:x2/2-y2/3=1・・・①

(1) C1:x2+(y-p)2=r12とおく。①とからxを消去して2(y2/3+1)+(y-p)2=r12、5y2-6py+3(p2+2-r12)=0・・・②
H、C1はy軸対象だから丁度2点の共有するのは②が重解を持つとき、すなわち判別式=0のときで、
(3p)2-5・3(p2+2-r12)=0、15r12=2p2+30、r12=2p2/5+2
よって、S1=πr12π(2p2/5+2)
(2) Hの2つの漸近線の方程式は√3x±√2y=0、条件を満たす半径をr2とすると、r2=|√3・0+√2r|/√{(√3)2+(√2)2}=√2p/√5
よって、S22πp2/5
(3) S2/S1=p2/(p2+5)=1-5/(p2+5)、p>0のときp2>0だから
0<S2/S1<1

特別問題C~数学~

$A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$とすると、(i)の条件より
$\begin{pmatrix} 1  \\  1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a+b  \\  c+d \end{pmatrix}$
よって、a+b=1、c+d=1・・・①、さらに、点X(x,y)のfによる像をX(x',y')とし、X,X'から直線y=xへの垂線をそれぞれXH,X'H'とすると、(ii)の条件よりXH=X'H'なので
|y-x|/√2=|y'-x'|/√2、また、
$\begin{pmatrix} x'  \\  y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} ax+by  \\  cx+dy \end{pmatrix}$なので、|y-x|=|cx+dy-(ax+by)|を得る。
よって、y-x=±(cx+dy-ax-by)だから(c-a+1)x+(d-b-1)y=0、または(-c+a+1)x+(-d+b-1)y=0
これらが全てのx,yについて成り立つのでc-a+1=0、d-b-1=0・・・②、または-c+a+1=0、-d+b-1=0・・・③
よって、①、②、③より
$A=\begin{pmatrix} a & 1-a \\ a-1 & 2-a \end{pmatrix},\begin{pmatrix} a & 1-a \\ 1+a & -a \end{pmatrix}$

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