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1489時間目 ~漢検一級~

次の漢字の読みを記せ。

Ⅰ 竜蹄

Ⅱ 蕾む

Ⅲ 沖眷

Ⅳ 蜚英

Ⅴ 錙介

Ⅵ 投贄

Ⅶ 酔醺

Ⅷ 閑瘋

Ⅸ 陟恪-陟る

Ⅹ 錙錘-錙か

確認問題~数学~

有理数a,bとn次の正方行列A,Bが等式A3=aE、B3=bE、A+B=Eを満たしているとする。但し、Eは単位行列を表す。次の問いに答えよ。

(1) AB=BAであり、AB=rEを満たす有理数rが存在することを示せ。
(2) a≠bならば、a=pE、B=qEを満たす有理数p,qが存在することを示せ。 
[大阪市立大]


1489時間目模範解答

Ⅰ 竜蹄・・・りゅうてい
意味:すぐれた馬。駿馬。

Ⅱ 蕾む・・・つぼ(む)

Ⅲ 沖眷・・・ちゅうけん
意味:深い恩、深い恵み。

Ⅳ 蜚英・・・ひえい
意味:名声をあげること。

Ⅴ 錙介・・・しかい
意味:非常に小さいこと。かすかに認められること。

Ⅵ 投贄・・・とうし
意味:面会に赴くこと。

Ⅶ 酔醺・・・すいくん
意味:酔う。酒のアルコール分が体中にまわること。

Ⅷ 閑瘋・・・かんぷう
意味:のんびりした愚か者。

Ⅸ 陟恪-陟る・・・ちょくかく-のぼ(る)
意味:登りつつしむ。

Ⅹ 錙錘-錙か・・・しすい-わず(か)
意味:少しの量。些細のたとえ。

確認問題~数学~

(1) A3=aE、B3=bEよりA3+B3=(a+b)E
一方、A+B=EよりA3+B3=A3+(E-A)3=A3+E-3A+3A2-A3=E-3A(E-A)=E-3AB
∴E-3AB=(a+b)E AB=(1-a-b)E/3
上の計算において、A3+B3=E-3A+3A2=E-3(E-A)A=E-3BAでもあるからBA=(1-a-b)E/3 以上より、題意は示された。 q.e.d.
(2) A3=aE、B3=bEよりA3-B3=(a-b)E ここでAB=BAであるから
A3-B3=(A-B)(A2+AB+B2)=(A-B){(A+B)2-AB}=(A-B)(E-AB)=(A-B)(E-(1-a-b)E/3)=(a+b+2)/3・(A-B) ∴(a+b+2)/3・(A-B)=(a-b)E
a-b≠0より(a+b+2)/3≠0 ∴A-B=3(a-b)/(a+b+2)・E
よって
・A+B=E・・・①
・A-B=3(a-b)/(a+b+2)・E・・・②
①+②より、2A=(4a-2b+2)/(a+b+2)・E ∴A=(2a-b+1)/(a+b+2)・E
①-②より、2B=(-2a+4b+2)/(a+b+2)・E ∴B=(-a+2b+1)/(a+b+2)・Eであるから、以上より題意は示された。 
q.e.d.

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