漢字戦場　～ブレイズム漢字講座ブログ～

1489時間目　～漢検一級～

次の漢字の読みを記せ。

Ⅰ　竜蹄

Ⅱ　蕾む

Ⅲ　沖眷

Ⅳ　蜚英

Ⅴ　錙介

Ⅵ　投贄

Ⅶ　酔醺

Ⅷ　閑瘋

Ⅸ　陟恪－陟る

Ⅹ　錙錘－錙か

確認問題～数学～

有理数a,bとn次の正方行列A,Bが等式A³＝aE、B³＝bE、A＋B＝Eを満たしているとする。但し、Eは単位行列を表す。次の問いに答えよ。

(1) AB＝BAであり、AB＝rEを満たす有理数rが存在することを示せ。
(2) a≠bならば、a＝pE、B＝qEを満たす有理数p,qが存在することを示せ。　[大阪市立大]

1489時間目模範解答

Ⅰ　竜蹄・・・りゅうてい
意味：すぐれた馬。駿馬。

Ⅱ　蕾む・・・つぼ(む)

Ⅲ　沖眷・・・ちゅうけん
意味：深い恩、深い恵み。

Ⅳ　蜚英・・・ひえい
意味：名声をあげること。

Ⅴ　錙介・・・しかい
意味：非常に小さいこと。かすかに認められること。

Ⅵ　投贄・・・とうし
意味：面会に赴くこと。

Ⅶ　酔醺・・・すいくん
意味：酔う。酒のアルコール分が体中にまわること。

Ⅷ　閑瘋・・・かんぷう
意味：のんびりした愚か者。

Ⅸ　陟恪－陟る・・・ちょくかく－のぼ(る)
意味：登りつつしむ。

Ⅹ　錙錘－錙か・・・しすい－わず(か)
意味：少しの量。些細のたとえ。

確認問題～数学～

(1) A³＝aE、B³＝bEよりA³＋B³＝(a＋b)E
一方、A＋B＝EよりA³＋B³＝A³＋(E－A)³＝A³＋E－3A＋3A²－A³＝E－3A(E－A)＝E－3AB
∴E－3AB＝(a＋b)E　AB＝(1－a－b)E/3
上の計算において、A³＋B³＝E－3A＋3A²＝E－3(E－A)A＝E－3BAでもあるからBA＝(1－a－b)E/3　以上より、題意は示された。　q.e.d.
(2) A³＝aE、B³＝bEよりA³－B³＝(a－b)E　ここでAB＝BAであるから
A³－B³＝(A－B)(A²＋AB＋B²)＝(A－B){(A＋B)²－AB}＝(A－B)(E－AB)＝(A－B)(E－(1－a－b)E/3)＝(a＋b＋2)/3・(A－B)　∴(a＋b＋2)/3・(A－B)＝(a－b)E
a－b≠0より(a＋b＋2)/3≠0　∴A－B＝3(a－b)/(a＋b＋2)・E
よって
・A＋B＝E・・・①
・A－B＝3(a－b)/(a＋b＋2)・E・・・②
①＋②より、2A＝(4a－2b＋2)/(a＋b＋2)・E　∴A＝(2a－b＋1)/(a＋b＋2)・E
①－②より、2B＝(－2a＋4b＋2)/(a＋b＋2)・E　∴B＝(－a＋2b＋1)/(a＋b＋2)・Eであるから、以上より題意は示された。　q.e.d.