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3925時間目 ~ULTIMATE~

次の漢字の読みを記せ。

レベルⅠ

Ⅰ 𠁼

Ⅱ 迗逇

Ⅲ 御試饌

レベルⅡ

Ⅰ 耳坐滋

Ⅱ 野鶏班

Ⅲ 觔斗

レベルⅢ

Ⅰ 長尾先生

Ⅱ 婆羅門参

Ⅲ 大力子

FINAL

自灸

特別問題A~雑学~

次の各各の小問に答えなさい。

(1) 企業の設備投資に起因する、10年程度を周期として起こる景気循環のことを、検証したフランスの経済学者の名をとって何というでしょう?
(2) ヘイムダルが持つ角笛「ギャラホルン」がその始まりを告げる、北欧神話において、神々の世界が終末を迎える出来事を何というでしょう?
(3) ギリシャごで「宙に浮く」という意味の名をもつ、ギリシャ・テッサリア地方にある、切り立った岩の上に立てられた修道院群は何でしょう?
(4) 2020年3月での芸能引退を表明した、そのスタイルの良さから「くびれスト」として活躍するレースクイーンは誰でしょう?
(5) 国会議員の中でも特に、役職についておらず、大物政治家の傘下に入っている議員のことを何というでしょう?

特別問題B~数学~

実数x,y,s,tに対し、z=x+yi、w=s+tiとおいたとき、z=(w-1)/(w+1)をみたすとする。但し、iは虚数単位である。

(1) wをzで表し、s,tをx,yで表せ。
(2) 0≦s≦1かつ0≦t≦1となるような(x,y)の範囲Dを座標平面上に図示せよ。
(3) 点P(x,y)がDを動いたとき、-5x+yの最小値を求めよ。 
[北海道大]

特別問題C~数学~

実数の組(a,b,c)であって、ab+bc+ca=1とa2b+c=b2c+a=c2a+bをともに満たすものをすべて求めよ。


3925時間目模範解答

レベルⅠ

Ⅰ 𠁼・・・い
意味:「インドリヤ」を表す通摩多のひとつ。

Ⅱ 迗逇・・・がとん
意味:天地にそむくこと。

Ⅲ 御試饌・・・おしつけ
意味:天皇や皇后に仕える者が、御食事のすべての料理や飲み物を毒見すること。

レベルⅡ

Ⅰ 耳坐滋・・・はたすそご
意味:左右の両端を濃く、中央を淡い色に縅したもの。

Ⅱ 野鶏班・・・やくすぎ
意味:鹿児島県屋久島に産ずる杉。

Ⅲ 觔斗・・・とんぼがえり
意味
①:宙返り。
②:到着して、すぐに引き返すこと。

レベルⅢ

Ⅰ 長尾先生・・・かぶとがに[動]
概容:節足動物剣尾類の一種。

Ⅱ 婆羅門参・・・さんばいざさ[植]
概容:ヒガンバナ科の多年草。

Ⅲ 大力子・・・ごぼう[植]
概容:キク科の二年草。

FINAL

自灸・・・うまのあしがた[植]
概容:キンポウゲ科の多年草。

特別問題A~雑学~

(1) ジュグラーの波
(2) ラグナロク
(3) メテオラ
(4) 川崎あや
(5) 陣笠議員

特別問題B~数学~

(1) z=(w-1)/(w+1)=1-2/(w+1)よりz≠1 ((x,y)=(1,0))に注意して、z(w+1)=w-1 (z-1)w=-z-1 w=(-z-1)/(z-1)
これよりs+ti=(-x-yi-1)/(x+y-1)={(-x-1-yi)(x-1-yi)}/{(x-1+yi)(x-1-yi)}=(1-x2-y2+2yi)/{(x-1)2+y2}
s=(1-x2-y2)/{(x-1)2+y2}t=2y/{(x-1)2+y2}
(2) (x-1)2+y2>0より0≦s≦1⇔0≦(1-x2-y2)/{(x-1)2+y2}≦1 より(x.y)≠0かつx2+y2≦1・・・①、1-x2-y2≦(x-1)2+y2・・・②
②を変形すると(x-1/2)2+y2≧(1/2)2・・・②'
また、0≦t≦1⇔0≦2y/{(x+1)2+y2}≦1より(x,y)≠(1,0)かつy≧0・・・①、2y≦(x-1)2+y2・・・④
④を変形して(x-1)2+(y-1)2≧1・・・④'、①、②'、③、④'の共通部分をとっての斜線部(境界を含む)を得る。
(3) -5x+y=k、y=5x+k・・・⑤とおいて、直線⑤と領域Dの共有点を考える。D上の点(x,y)を通って傾きが5の直線を考えるとこの(x,y)の対するkの値は直線⑤のy切片に現れる。
したがって、このy切片が最小となるようなkが求める最小値である。②'、④'の2円の交点のうち(1,0)でない点Aを求めると、x2+y2-x=0・・・⑥ (x-1)2+(y-1)2=1・・⑦
⑥-⑦:x+2y-2=-1、x=1-2y、⑦に代入すると、4y2+(y-1)2=1、y(5y-2)=0 y=0,2/5、A(1/5,2.5)
原点をOとすると、直線OAの傾きは2(<6)であるから、kは⑤が点Aを通るとき最小となり、求める最小値は-5・1/5+2/5=
-3/5

特別問題C~数学~

まずa=0と仮定する。このとき与式よりbc=1とc=b2c=bが成り立っている。したがってb=cであるのでb2=1、すなわちb=±1を得る。
これより(a,b,c)=(0,1,1),(0,-1,-1)であり、これらは条件を満たしている。同様にbまたはcは0のとき(a,b,c)=(1,0,1),(-1,0,-1),(1,1,0),(-1,-1,0)である。以下、a,b,c≠0とする。
a(ab+bc+ca)=aであるのでa2b=a-abc-a2cである。これをa2b+c=b2+aに代入すると、a-abc-a2c+c=b2c+aとなるので、b2c+abc+a2c=cである。
c≠0であるので両辺をcで割ってb2+ab+a2=1を得る。同様に、c2+bc+b2=1、a2+ca+c2=1、これとab+bc+ca=1より
2(a2+b2+c2)+ab+bc+ca=3であり、これとab+bc+ca=1より2(a2+b2+c2)-2(ab+bc+ca)=(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0である。したがって
a=b=cであり与式にこれを代入することにより(a,b,c)=(√3/3,√3/3,√3/3),(-√3/3,-√3/3,-√3/3)を得る。以上により答えは
(a,b,c)=(0,1,1),(0,-1,-1),(1,0,1),(-1,0,-1),(1,1,0),(-1,-1,0),(√3/3,√3/3,√3/3),(-√3/3,-√3/3,-√3/3)の8つを得る。

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