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3887時間目 ~一般更新~

次の漢字の読みを記せ。

SET-A-

Ⅰ 太郎兵衛駕籠

Ⅱ 黄菜

Ⅲ 参究

Ⅳ 芝居酒盛り

SET-B-

Ⅰ 蜥蜴の三年干し

Ⅱ 暁啼

Ⅲ 攀折

Ⅳ 捃華

SET-C-

Ⅰ 企つ者は立たず、跨ぐ者は行かず

Ⅱ 鮐皮

Ⅲ 迤隴

Ⅳ 櫜弓戢戈

特別問題A~数学~

正の整数であって、正の約数すべての積が24240となるようなものをすべて求めよ。

特別問題B~雑学~

次の各々の小問に答えなさい。

(1) 硫酸ナトリウム10水和物などで見られる、結晶中の水が自然と失われる現象のことを何というでしょう?
(2) クラスター弾の使用・保有・製造の全面禁止を定めた条約ののことを、署名された都市の名前から「何条約」というでしょう?
(3) 日本昆虫学会のシンボルマークにデザインされている、生きた化石の1つといわれるトンボは何でしょう?
(4) 関西では「にわか落ち」という、落語のオチの中でも特にダジャレによるものを何というでしょう?
(5) お皿の代わりとして使うために、スナック菓子の袋の背中側を開けることを俗に何というでしょう?

特別問題C~数学~

2つの複素数 z=x+yi、w=u+vi (x,y,u,vは実数、i=√(-1)は虚数単位)に対し、x≧uとy≧vがともに成り立つとき、z>>wと書くことにする。

(1) 次の条件z2>>3かつ$\bar{z}\gg-\frac{5}{\bar{z}}$をみたす複素数zの範囲を求め、複素数平面上に図示せよ。但し、$\bar{z}$はzに共役な複素数とする。
(2) (1)で求めた範囲を動くとき、絶対値|z-3i|の最小値、および最小値を与えるzを求めよ。 
[大阪大]


3887時間目模範解答

SET-A-

Ⅰ 太郎兵衛駕籠・・・たろべえかご
意味:一見違っているようだが、結局は同じこと。元通りの意。

Ⅱ 黄菜・・・さわやけ
意味:ダイコンのもやし。

Ⅲ 参究・・・さんきゅう
意味:座禅して仏法の真髄を探求すること。

Ⅳ 芝居酒盛り・・・・しばいさかも(り)
意味:芝生の上でする酒宴。

SET-B-

Ⅰ 蜥蜴の三年干し・・・とかげ(の)さんねんぼ(し)
意味:痩せこけている人のたとえ。

Ⅱ 暁啼・・・ぎょうてい
意味:明け方に泣く。

Ⅲ 攀折・・・はんせつ
意味:引き折る。曲げ折る。手折る。

Ⅳ 捃華・・・くんか
意味:優れた良い所を選び取る。

SET-C-

Ⅰ 企つ者は立たず、跨ぐ者は行かず・・・つまだ(つ)もの(は)た(たず、)また(ぐ)もの(は)い(かず)
意味:ことさらな、無理な振る舞いは長続きしないということのたとえ。静かに自然に任せて生きていくべきことを説く。

Ⅱ 鮐皮・・・たいひ
意味:フグのようなシミのある皮膚。老人をいう。

Ⅲ 迤隴・・・いろう
意味:山や丘が連なり続いているさま。

Ⅳ 櫜弓戢戈・・・こうきゅうしゅうか
意味:弓をしまい、矛をおさめる。戦いが終わり平和になること。

特別問題A~数学~

正の約数nについてlがその約数であるとすると、n/lもnの約数である。よって約数の個数をrとすると、約数すべての積はnr/2となる。実際、{a1,・・・,ar}を約数全体とするとき、{n/a1,・・・,n/ar}も約数全体になり、約数全体の積をNとするとすれば
N2=(a1・n/a1)・・・(ar,n/ar)=nrとなる。nの約数の積が24240とする。
24240の素因数は2と3であるから、nの素因数も2,3とわかる。よって、n=2a3bとなるような正の整数a,bが存在する。nの約数は2c3d (0≦c≦a、0≦d≦b)の計(a+1)(b+1)個ある。よって約数の積は (2a3b)(a+1)(b+1)/2=2a(a+1)(b+1)/23b(a+1)(b+1)/2と求まり、これが24240=27203240に等しいことになる。
以下、連立方程式 1/2・a(a+1)(b+1)=720、1/2・b(a+1)(b+1)=240を解くと、2つの式の商をとることでa=3bとなり2式目に代入して(3b+1)b(b+1)=480となる。(3b+1)b(b+1)-480=(b-5)(3b2+19b+96)=0であり、3b2+19b+96=0は実数解をもたないのでb=5でありa=15。よってnはn=21535のみである。

特別問題B~雑学~

(1) 風解
(2) オスロ条約
(3) ムカシトンボ
(4) 地口落ち
(5) パーティー開け

特別問題C~数学~

(1) z=x+yiとおくと、z2=(x+yi)2=x2-y2+2xyi、また、$\bar{z}=x-yi$
$-\frac{5}{\bar{z}}=-\frac{5x}{x^2+y^2}-\frac{5y}{x^2+y^2}i$
条件z2>>3からx2-y2≧3かつxy≧0・・・①、条件$\bar{z}\gg-\frac{5}{\bar{z}}$から、x≧-5x/(x2+y2)かつ-y≧-5y/(x2+y2)
∴x≧0かつy(x2+y2-5)≦0・・・② ①かつ②から、z=x+yiの満たすべき条件は、x2/3-y2/3≧1、x2+y2≦5、x≧0、y≧0
双曲線x2/3-y2/3と円x2+y2=5の第1象限の交点の座標は(2,1)であるから、zの範囲はの赤色部(境界線含む)。
(2) |z-3i|は点zと3iの距離に等しい。(1)の図から、これはzが境界線x2/3-y2/3=1 (√3≦x≦√5,0≦y≦1)上にあるとき最小値をとる。zがこの境界線上にあるとき
|z-3i|2=|(x+yi)-3i|2=x2+(y-3)2=y2+3+(y-3)2=2y2-6y-12=2(y-3/2)2+15/2
これはy=1 (x=2)のとき最小値8をとる。よって、|z-3i|の最小値とそのときのzは、最小値
2√2、z=2+i

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