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3877時間目 ~一般更新~

次の漢字の読みを記せ。

SET-A-

Ⅰ 言い立ての催促

Ⅱ 敗根

Ⅲ 烏喙

Ⅳ 𫋃

SET-B-

Ⅰ 囲掩

Ⅱ 惇大

Ⅲ 牙檣錦纜

Ⅳ 秘籌密算

SET-C-

Ⅰ 勃陀

Ⅱ 創乂

Ⅲ 剡荐

Ⅳ 叛奴塩

特別問題A~雑学~

次の各々の小問に答えなさい。

(1) 彼が築いた「長城」は1987年に世界文化遺産に登録された、五賢帝の3番目に当たるローマ帝国の皇帝は誰でしょう?
(2) 甥に作家の新田次郎を持つ、2つの台風が接近したとき、互いに干渉して複雑な動きをする効果に名を残す気象学者は誰でしょう?
(3) 1959年に大湊町と田名部町が合併し、翌1960年に現在の名前になった、日本で初めてひらがなの名前を採用した青森県の市はどこでしょう?
(4) 世界の首都で、最も北にあるのはアイスランドのレイキャビクですが、最も南にあるのはどこでしょう?
(5) 2017年10月から順次提供される予定である、IoTの一環で、機器同士の通信に使われる電子機器専用の携帯番号の上3桁は何でしょう?

特別問題B~数学~

△ABCにおいて、等式 sin2B+sin2C-2sinBsinCcosA=sin2A が成立することを示せ。 [京都教育大]

特別問題C~数学~

Oを原点とする座標空間において、不等式|x|≦1、|y|≦1、|z|≦1を表す立方体を考える。その立方体のうち、z<1を満たす部分をSとする
以下、座標空間内の2点A,Bが一致するとき、線分ABは点Aを表すものとし、その長さを0と定める。

(1) 座標空間内の点Pが次の条件(i),(ii)を共に満たすとき、点Pが動きうる範囲Vの体積を求めよ。
(i) OP≦√3
(ii) 線分OPとSは、共有点を持たないが、点Pのみを共有点に持つ。

(2) 座標空間内の点Nと点Pが次の条件(Ⅲ),(Ⅳ),(Ⅴ)をすべて満たすとき、点Pが動きうる範囲Wの体積を求めよ。必要ならば、sinα=1/√3を満たす実数α(0<α<π/2)を用いてよい。
(Ⅲ) ON+NP≦√3
(Ⅳ) 線分ONとSが共有点を持たない。
(Ⅴ) 線分NPとSは、共有点を持たないか、点Pのみを共有点に持つ。 
[東京大]



3877時間目模範解答

SET-A-

Ⅰ 言い立ての催促・・・い(い)だ(ての)さいそく
意味:しつこく催促する。無理な督促。居催促。

Ⅱ 敗根・・・はいこん
意味:声聞・縁覚の二乗が成仏できないのを、腐った草木の根や種子にたとえたもの。

Ⅲ 烏喙・・・うかい
意味:烏のようなくちばし。欲深い人相のたとえ。

Ⅳ 𫋃・・・あまびこ
意味:ヤスデの古名。

SET-B-

Ⅰ 囲掩・・・いえん
意味:周囲をおおうこと。また、そのもの。

Ⅱ 惇大・・・とんだい
意味:情があつくて大きいこと。

Ⅲ 牙檣錦纜・・・がしょうきんらん
意味:象牙の帆柱と錦の綱。美しい船の形容。

Ⅳ 秘籌密算・・・ひちゅうみっさん
意味:秘密のはかりごと。ひそかに計略を立てること。


SET-C-

Ⅰ 勃陀・・・ぼだ
意味:梵語Buddhaの音訳。

Ⅱ 創乂・・・そうがい
意味:こりて恐れる。

Ⅲ 剡荐・・・えんせん
意味:人民に法令を示すための木札を、削ったまままで一ヶ所に集めておく。煩瑣な法令を出さないことに言う。

Ⅳ 叛奴塩・・・ぬるで[植]
概容:ウルシ科の落葉小高木。

特別問題A~雑学~

(1) ハドリアヌス
(2) 藤原咲平
(3) むつ市
(4) ウェリントン
(5) 020

特別問題B~数学~

△ABCの外接円の半径をRとすると、正弦定理により、sinA=a/2R、sinB=b/2R、sinC=c/2R
余弦定理により cosA=(b2+c2-a2)/2bc よって
左辺=(b/2R)2+(c/2R)2-2・b/2R・c/2R・(b2+c2-a2)/2bc=a2/4R2
右辺=(a/2R)2=a2/4R2
したがって、sin2B+sin2C-2sinBsinCcosA=sin2A

特別問題C~数学~

(1) 立体の頂点をABCDEFGHとおく、Oと立方体の4頂点を結ぶことによって立方体は6つの合同な正四面体に分けられる。正四面体の底面を外し、どこまでも伸びる四角錐のようなものを考える。例えば、正四角錐O-ABCDの底面を外し、半直線OA,OB,OC,ODで囲まれたどこまでも伸びる正四角錐のようなものを半四角錐O-ABCDと呼ぶことにする。
Pと半四角錐O-AEBFの内部の点とする。このとき正四角錐O-AEBFの表面及び内部の点は条件(i),(ii)を共に満たす。正四角錐O-AEBFの外部の点は(ii)を満たさない。ゆえに、半四角錐O-AEBFの内部の点で条件(i),(ii)を共に満たす点Pの動きうる範囲は正四角錐O-AEBFであり、その体積は立方体の1/6であるから、1/6・23=4/3である。
Pを半四角錐O-BFGC,OCGHD,O-DHEA,O-EDGhの内部の点とするときもそれぞれ同様に4/3ずつである。
Pを四角錐O-ABCDの内部の共通部分を考える。ここで、Oと立方体の各面の4頂点を半直線で結ぶことによってできる半四角錐O-ABCDの内部の点で条件(i),(ii)をともに満たす点Pの動きうる範囲の体積は球の1/6であるから、1/6・4π/3・(√3)3=2√3π/4である。
以上より、点Pが動きうる範囲Vの体積は、5・4/3+2√3π/3=
2/3・(10+√3π)

(2) Nを線分OP上にとれば、(1)と同じ状況になるから、PがC内にあるとき(Ⅲ)から(Ⅴ)をすべて満たす、特に、V⊂Wであるから、V∩Wの部分についてかんがえる。すなわち、PがVをはみ出るのはどのようなときかを考える。
Nを半四角錐O-ABCDの内部でさらに平面OAB上にあるとする。時にNをAB上の点としたとき、Pを平面OAB内かつ△OABの外部に固定すると、Pの動ける範囲は√3の扇OABのうちのOAB≦√2の部分である。(Ⅲ)を満たすようにPの固定を外すとPの存在範囲はOAB≦√2の部分をABを軸に1回転したものとなる。このうち、V∩Wの部分を考えると、扇OAB≦√2をABを軸に3π/4だけ回転させたものとなる。わかりやすく座標をとると
IK=√(3-t2)、IJ=√2、IK=√(3-t2)-√2ようにとると、MをAB上に固定したときのV∩Wの部分の体積は、対称性から
$2\int^1_0\frac{1}{2}JK^2\frac{3}{4}\pi dt=\frac{3}{4}\pi\int^1_0(5-t^2-2\sqrt2\sqrt{3-t^2})dt$

$=\frac{3}{4}\pi\{[5t-\frac{t^3}{3}]^1_0-2\sqrt2(\frac{1}{2}(\sqrt3)^2\alpha+\frac{1}{2}\cdot1\cdot\sqrt2)\}$

$=\frac{3}{4}\pi(\frac{14}{3}-\sqrt2(3\alpha+\sqrt2))$

$=\left(2-\cfrac{9\sqrt2}{4}\alpha\right)\pi$
V∩Wの部分の体積は 4・(2-9√2α/4)π=(8-9√2α)π
よってWの体積は 2/3・(10+√3π)+(8-9√2α)π=20/3+(2√3/3+8-9√2α)π

なんとoverlineがこのサイトは対応していない。なのでLaTeXで記述するにも字が大きくなるため$\overline{V}$をVとしている。
また、数学でも煩雑なものはメモ帳に直接書くことにする。これで出題する大学が増えるといいが・・・

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