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3769時間目 ～総合問題～
次の漢字の読みを記せ。
レベルⅠ
Ⅰ 来孫
Ⅱ 心月
Ⅲ 好文木
Ⅳ 満目荒涼
レベルⅡ
Ⅰ 正鵠
Ⅱ 泥蟠して滓まず
Ⅲ 惜誦
Ⅳ 摧北
レベルⅢ
Ⅰ 犬鋪
Ⅱ 爪鬋
Ⅲ 爬疥
Ⅳ 炳炳麟麟
特別問題A～雑学～
次の設問に答えなさい。
(1) 1498年に4隻の船団を率いてカリカットに到着し、喜望峰を経由するインド航路を開拓した人物は誰でしょう？
(2) ラテン語で「糸」を意味する言葉を由来とする、電球などの照明器具の発光部分を何というでしょう？
(3) 毛色を決める遺伝子により特に白猫に多く見られる、虹彩の色が左右で異なる目のことを何というでしょう？
(4) 北欧神話で最高神にちなんだ「オーディン山」を最高峰とする、世界で5番目の面積を持つカナダの島はどこでしょう？
(5) ラテン語で「女戦士」という意味の名を持つ、リゲル、ベテルギウスに次いで明るい、オリオン座のγ星は何でしょう？
特別問題B～数学～
△ABCにおいて、BC＝2、∠B＋∠C＝60°とする。
(1) このような三角形の面積の最大値を求め、そのときの2辺AB,ACの長さを求めよ。
(2) (1)で得た三角形の内接円の半径を求めよ。 [千葉大]
特別問題C～数学～
原点をOとする座標平面で、曲線y＝f(x) (x＞0)を考える。但し、f(x)は微分可能でf'(x)は連続とする。この曲線上の点P(x,y)での接線がy軸と交わる点をQとする。△OPQの面積がつねにx2/2であるとき、次の問いに答えよ。
(1) d/dx・(y/x)は一定であることを示せ。
(2) f(1)＝1のとき、f(x)を求めよ。 [お茶の水女子大]
3769時間目模範解答
レベルⅠ
Ⅰ 来孫・・・らいそん
意味：玄孫(孫の孫)の子。耳孫。
Ⅱ 心月・・・しんげつ、しんがつ
意味：悟りを開いた、澄み切った心。その清らかさを月の光に例えていう。
Ⅲ 好文木・・・こうぶんぼく、うめ
意味：梅の別名。西晋の武帝が学問にはげめば梅の花が咲き、学問をやめると咲かなかったという故事による。
Ⅳ 満目荒涼・・・まんもくこうりょう
意味：見渡す限り荒れ果ててものさびしいこと。
レベルⅡ
Ⅰ 正鵠・・・せいこく
意味：弓のまと。的の中心をいう。
Ⅱ 泥蟠して滓まず・・・でいはん(して)くろ(まず)
意味：泥中にわだかまっていないから汚れない。
Ⅲ 惜誦・・・せきしょう
意味：激しく惜しみいたんで唱える。
Ⅳ 摧北・・・さいぼく
意味：くじけ敗れて逃げる。
レベルⅢ
Ⅰ 犬鋪・・・けんぽ
意味：犬をとどめておくところ。犬小屋。
Ⅱ 爪鬋・・・そうせん
意味：手足の爪を切る
Ⅲ 爬疥・・・はかい
意味：ひぜんをかく。痒い所をかく。
Ⅳ 炳炳麟麟・・・へいへいりんりん
意味：光り明らかなさま。
特別問題A～雑学～
(1) バスコ＝ダ＝ガマ
(2) フィラメント
(3) オッドアイ
(4) バフィン島
(5) ベラトリックス
特別問題B～数学～
(1) △ABCについて、∠B＋∠C＝60°だから∠Ａ＝120° また、BC＝2だから頂点Aはある点Oの弧BC上にある。Aから辺BCに下した垂線の足をHとすると、△ABCの面積が最大になるのはAHが最大のときである。そのとき、Hは辺BCの中点でBH＝CH＝1、また、AB＝AC、∠ABC＝∠ACB＝30°、したがって、AH＝1/√3、AB＝2/√3
よって、△ABCの面積の最大値SはS＝1/2・BC・AH＝1/2・2・1/√3＝1/√3＝√3/3
そのときの2辺AB,ACの長さは AB＝AC＝2/√3＝2√3/3
(2) (1)で得た三角形の内接円の半径をrとすると、S＝1/2・(AB＋BC＋CA)r
r＝2S/(AB+BC＋CA)＝(2・1/√2)/(2/√3＋2＋2/√3)＝1/(1＋√3＋1)＝1/(2＋√3)＝2－√3
特別問題C～数学～
(1) 点P(x,f(x)) (x＞0)における接線は Y－f(x)＝f'(x)(X－x)、Q(0,f(x)－xf'(x))
x＞0だから△OPQ＝1/2・x|f(x)－xf'(x)|＝x2/2 ∴|(xf'(x)－f(x))/x2|＝1
f(x),f'(x)は連続だから、恒等的に (xf'(x)－f(x))/x2＝±1 また、d/dx・(y/x)＝d/dx・(f(x)/x)＝(xf'(x)－f(x))/x2
したがって、d/dx・(y/x)は一定である。
(2) d/dx・(y/x)＝－1のとき、y/x＝－x＋C1 ∴y＝C1x－x2、f(1)＝1より1＝C1－1、C1＝2 ∴y＝2x－x2
d/dx・(y/x)＝1のとき、y/x＝x＋C2、∴y＝x2＋C2x、f(1)＝1よりC2＝0 ∴y＝x2
よって、f(x)＝2x－x2またはf(x)＝x2
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