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3769時間目 ~総合問題~

次の漢字の読みを記せ。

レベルⅠ

Ⅰ 来孫

Ⅱ 心月

Ⅲ 好文木

Ⅳ 満目荒涼

レベルⅡ

Ⅰ 正鵠

Ⅱ 泥蟠して滓まず

Ⅲ 惜誦

Ⅳ 摧北

レベルⅢ

Ⅰ 犬鋪

Ⅱ 爪鬋

Ⅲ 爬疥

Ⅳ 炳炳麟麟

特別問題A~雑学~

次の設問に答えなさい。

(1) 1498年に4隻の船団を率いてカリカットに到着し、喜望峰を経由するインド航路を開拓した人物は誰でしょう?
(2) ラテン語で「糸」を意味する言葉を由来とする、電球などの照明器具の発光部分を何というでしょう?
(3) 毛色を決める遺伝子により特に白猫に多く見られる、虹彩の色が左右で異なる目のことを何というでしょう?
(4) 北欧神話で最高神にちなんだ「オーディン山」を最高峰とする、世界で5番目の面積を持つカナダの島はどこでしょう?
(5) ラテン語で「女戦士」という意味の名を持つ、リゲル、ベテルギウスに次いで明るい、オリオン座のγ星は何でしょう?

特別問題B~数学~

△ABCにおいて、BC=2、∠B+∠C=60°とする。

(1) このような三角形の面積の最大値を求め、そのときの2辺AB,ACの長さを求めよ。
(2) (1)で得た三角形の内接円の半径を求めよ。 
[千葉大]

特別問題C~数学~

原点をOとする座標平面で、曲線y=f(x) (x>0)を考える。但し、f(x)は微分可能でf'(x)は連続とする。この曲線上の点P(x,y)での接線がy軸と交わる点をQとする。△OPQの面積がつねにx2/2であるとき、次の問いに答えよ。

(1) d/dx・(y/x)は一定であることを示せ。
(2) f(1)=1のとき、f(x)を求めよ。 
[お茶の水女子大]


3769時間目模範解答

レベルⅠ

Ⅰ 来孫・・・らいそん
意味:玄孫(孫の孫)の子。耳孫。

Ⅱ 心月・・・しんげつ、しんがつ
意味:悟りを開いた、澄み切った心。その清らかさを月の光に例えていう。

Ⅲ 好文木・・・こうぶんぼく、うめ
意味:梅の別名。西晋の武帝が学問にはげめば梅の花が咲き、学問をやめると咲かなかったという故事による。

Ⅳ 満目荒涼・・・まんもくこうりょう
意味:見渡す限り荒れ果ててものさびしいこと。

レベルⅡ

Ⅰ 正鵠・・・せいこく
意味:弓のまと。的の中心をいう。

Ⅱ 泥蟠して滓まず・・・でいはん(して)くろ(まず)
意味:泥中にわだかまっていないから汚れない。

Ⅲ 惜誦・・・せきしょう
意味:激しく惜しみいたんで唱える。

Ⅳ 摧北・・・さいぼく
意味:くじけ敗れて逃げる。

レベルⅢ

Ⅰ 犬鋪・・・けんぽ
意味:犬をとどめておくところ。犬小屋。

Ⅱ 爪鬋・・・そうせん
意味:手足の爪を切る

Ⅲ 爬疥・・・はかい
意味:ひぜんをかく。痒い所をかく。

Ⅳ 炳炳麟麟・・・へいへいりんりん
意味:光り明らかなさま。

特別問題A~雑学~

(1) バスコ=ダ=ガマ
(2) フィラメント
(3) オッドアイ
(4) バフィン島
(5) ベラトリックス

特別問題B~数学~

(1) △ABCについて、∠B+∠C=60°だから∠A=120° また、BC=2だから頂点Aはある点Oの弧BC上にある。Aから辺BCに下した垂線の足をHとすると、△ABCの面積が最大になるのはAHが最大のときである。そのとき、Hは辺BCの中点でBH=CH=1、また、AB=AC、∠ABC=∠ACB=30°、したがって、AH=1/√3、AB=2/√3
よって、△ABCの面積の最大値SはS=1/2・BC・AH=1/2・2・1/√3=1/√3=√3/3
そのときの2辺AB,ACの長さは AB=AC=2/√3=2√3/3
(2) (1)で得た三角形の内接円の半径をrとすると、S=1/2・(AB+BC+CA)r
r=2S/(AB+BC+CA)=(2・1/√2)/(2/√3+2+2/√3)=1/(1+√3+1)=1/(2+√3)=
2-√3

特別問題C~数学~

(1) 点P(x,f(x)) (x>0)における接線は Y-f(x)=f'(x)(X-x)、Q(0,f(x)-xf'(x))
x>0だから△OPQ=1/2・x|f(x)-xf'(x)|=x2/2 ∴|(xf'(x)-f(x))/x2|=1
f(x),f'(x)は連続だから、恒等的に (xf'(x)-f(x))/x2=±1 また、d/dx・(y/x)=d/dx・(f(x)/x)=(xf'(x)-f(x))/x2
したがって、d/dx・(y/x)は一定である。
(2) d/dx・(y/x)=-1のとき、y/x=-x+C1 ∴y=C1x-x2、f(1)=1より1=C1-1、C1=2 ∴y=2x-x2
d/dx・(y/x)=1のとき、y/x=x+C2、∴y=x2+C2x、f(1)=1よりC2=0 ∴y=x2
よって、f(x)=2x-x2または
f(x)=x2

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