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3749時間目 ～諺・四字熟語～
次の漢字の読みを記せ。
ことわざ
Ⅰ 光陰逝水に似たり
Ⅱ 角弓の刺り
Ⅲ 価を待ちて沽る
Ⅳ 野締めの鯛
Ⅴ 座頭を川中で剥ぐ
四字熟語
Ⅰ 眼高手低
Ⅱ 芋幹木刀
Ⅲ 臣一主二
Ⅳ 塵外弧標
Ⅴ 道傍苦李
特別問題A～雑学～
次の設問に答えなさい。
(1) アメリカ生まれの「ソイレント」や日本生まれの「COMP」に代表される、必要な栄養がすべて含まれている食品を何というでしょう？
(2) 世界の主要な金融機関であるFRB、ECB、日本銀行が、共通して掲げているインフレ目標は何％でしょう？
(3) 2020年12月にメルカリが始めた、売れる前の商品の保管と、売れた後の梱包・発送を代行するサービスは何でしょう？
(4) 周波数に反比例したパワースペクトルを持つ雑音のことを、ある色を用いて「何ノイズ」というでしょう？
(5) サンターラという儀式で断食による死を迎えることが崇高とされる、徹底的な不殺生主義をとるインドの宗教は何でしょう？
特別問題B～数学～
$f(x)~\int^x_{-x}t\cos(\frac{\pi}{4}-t)dt$とする。関数f(x)の0≦x≦2πにおける最大値と最小値を求めよ。 [弘前大]
特別問題C～数学～
aを0でない複素数とする。複素数平面上に2点P(a),Q(－a)をとる。点Qを点Pの周りにθ(0＜θ＜π)だけ回転して得られる点をR(b)とし、3点P,Q,Rの通る円の中心をC(z)とする。次の問いに答えよ。
(1) 線分PQの中点MとCを結ぶ線分の長さは、線分PMの長さのtan(θ/2)倍であることを示せ。
(2) zをaとtan(θ/2)で表せ。
(3) b＝3zのとき、三角形PQRは正三角形であることを示せ。 [神戸大]
3749時間目模範解答
ことわざ
Ⅰ 光陰逝水に似たり・・・こういんせいすい(に)に(たり)
意味：月日は、流れゆく水に似ており、早く過ぎ去って二度とは返らない。
Ⅱ 角弓の刺り・・・かくきゅう(の)そし(り)
意味：親族の間で憎しみ合いそしるたとえ。
Ⅲ 価を待ちて沽る・・・あたい(を)ま(ちて)う(る)
意味：よい値段が付くのを待ってから売る。よい時機が来るのを待つこと。
Ⅳ 野締めの鯛・・・のじ(めの)たい
意味：見かけだけよくてまずいもののたとえ
Ⅴ 座頭を川中で剥ぐ・・・ざとう(を)かわなか(で)は(ぐ)
意味：無力な者をひどい目にあわせること・
四字熟語
Ⅰ 眼高手低・・・がんこうしゅてい
意味：理想ばかり高くて実行力が伴わないこと。
Ⅱ 芋幹木刀・・・いもがらぼくとう
意味：身の丈のひょろ長い人を嘲って言う言葉。見かけばかり大きくて役に立たないもの。
Ⅲ 臣一主二・・・しんいつしゅに
意味：どの主人に仕えるかは、自分の自由であること。
Ⅳ 塵外弧標・・・じんがいこひょう
意味：一人世俗を大きく抜け出て優れていること。
Ⅴ 道傍苦李・・・どうほう(の)くり
意味：人から見捨てられ、見向きもされない物事のたとえ。
特別問題A～雑学～
(1) 完全食
(2) 2%
(3) あとよろメルカリ便
(4) ピンクノイズ
(5) ジャイナ教
特別問題B～数学～
cos(π/4－t)＝1/√2・8cost＋sint)であるから、$f(x)=\frac{1}{\sqrt2}\int^x_{-x}(t\cos t+t\sin t)dt$
tcostは奇関数でtsintは偶関数であるから$f(x)=\sqrt2\int^x_0t\sin tdt$・・・①
ここで∫tsintdt＝∫t(－cost)dt＝tcost－∫(t)^2(－cost)dt＝－tcost＋sint＋C (C：積分定数)であるから
$f(x)=\sqrt2[-t\cos t+\sin t]^x_0=\sqrt2(-x\cos x+\sin x)$
①よりf'(x)＝√2xsinx、0≦x≦2πの範囲では、f'(x)＝0になるのはx＝πのときである。
\[ \begin{array}{|c||c|c|c|c|} \hline x & 0 & \cdots & \pi & \cdots & 2\pi \\ \hline f'(x) & & + & 0 & - & \\ \hline f(x) & & \nearrow & & \searrow & \\ \hline \end{array} \]
f(0)＝0、f(π)＝√2π、f(2π)＝－2√2π、よって最大値√2π、最小値－2√2π
特別問題C～数学～
(1) 点Mは線分PQの中点だから原点に一致し、CM⊥PQである。また、PQ＝PRだから点Cは∠QPRの二等分線上にあり、さらに0＜θ＜πより∠CPM＝θ/2である。
したがって、△CPMに着目することにより tan(θ/2)＝CM/PM ∴CM＝PMtan(θ/2) よって題意は示された。
(2) 点Cは点Pを原点Oを中心に－90°回転し、原点からの距離をtan(θ/2)倍した点であるから
z＝a{cos(－90°)＋isin(－90°)}tan(θ/2)＝－aitan(θ/2)
(3) b＝3zより CR＝2MC＝2|z|、さらにCR＝CP＝|a－z|だから、|a－z|＝2|z|
(2)の結果より |a＋aitan(θ/2)|＝2|－aitan(θ/2)|、|a|≠0より|1＋itan(θ/2)|＝2|itan(θ/2)|
したがって、√{1＋tan2(θ/2)}＝2tan(θ/2)、2乗して整理すると tan2(θ/2)＝1/3
0＜θ＜πよりtan(θ/2)＝1/√3、∴θ＝π/2 これとPQ＝PRより△PQRは正三角形である。
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