次の問いに答えよ。
漢検一級配当読み
次の漢字の読みを記せ。
Ⅰ 杠梁
Ⅱ 晨征
Ⅲ 巾盥
Ⅳ 旌録
音読み・語義訓読み
次の熟語の音読みとそれに適する訓読みを記せ。
Ⅰ 旁引-旁く
Ⅱ 孱愚-孱い
Ⅲ 冏冏-冏らか
当て字・熟字訓
次の当て字・熟字訓の読みを記せ。
Ⅰ 角力
Ⅱ 薄粧
Ⅲ 柳葉菜
特別問題A~雑学~
次の設問に答えなさい。
(1) 2007年から2016年にかけて大規模な拡張工事が実施された、大西洋と太平洋を結ぶ中央アメリカの大運河は何でしょう
(2) アメリカンフットボールにおいて、攻撃側は4回の攻撃で何ヤード以上進まなければ、攻守交代となるでしょう?
(3) コーヒー発祥の地とされ、現在でも高原を生かしたコーヒー栽培が盛んなアフリカの国はどこでしょう?
(4) 伝統工芸品としては「播州」や「雲州」といったブランドが知られる、かつて計算器としてよく使われていた道具は何でしょう?
(5) 「草木がいよいよ生い茂る」という意味の「いやおい」がなまったものである、旧暦3月の異称は何でしょう?
特別問題B~数学~
円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=3、BC=7、CD=x、DA=12-xとする。ただし1<x<11とする。四角形ABCDの∠Aの大きさをAで表すとする。次の問いに答えよ。
(1) x=7のとき、cosAとAの値を求めよ。
(2) cosAとsinAをそれぞれxを用いて表せ。
(3) 四角形ABCDの面積の最大値を求めよ。 [滋賀大]
特別問題C~数学~
dを2,5,13以外の任意の正整数とする。このとき、集合{2,5,13,d}から相異なる2つの要素a,bを ab-1が完全平方数にならないように選べることを示せ。
3747時間目模範解答
漢検一級配当読み
Ⅰ 杠梁・・・こうりょう
意味:はし。橋梁。
Ⅱ 晨征・・・しんせい
意味:朝早く行く。
Ⅲ 巾盥・・・きんかん
意味:手ぬぐいとたらい。転じて、侍女の役目をいう。
Ⅳ 旌録・・・せいろく
意味:人の功績を誉め表して書き記す。
音読み・語義訓読み
Ⅰ 旁引-旁く・・・ぼういん-あまね(く)
意味:広くあちらこちらから証拠を引き出すこと。詳しく考証すること。
Ⅱ 孱愚-孱い・・・せんぐ-よわ(い)
意味:か弱く愚かなこと。
Ⅲ 冏冏-冏らか・・・けいけい-あき(らか)
意味:光り輝くさま。
当て字・熟字訓
Ⅰ 角力・・・すもう
意味:裸でまわしを付けた二人が土俵の上で組み合う競技。
Ⅱ 薄粧・・・うすけわい
意味:目立たない程度で薄く化粧をすること。
Ⅲ 柳葉菜・・・あかばな[植]
概容:アカバナ科の多年草。
特別問題A~雑学~
(1) パナマ運河
(2) 10ヤード
(3) エチオピア
(4) そろばん
(5) 弥生
特別問題B~数学~
(1) x=7のとき、AD=5、CD=7、また∠C=180°-A、△ABDで余弦定理より
BD2=32+52-2・3・5cosA、BD2=34-30cosA・・・① △BCDで余弦定理より
BD2=72+72-2・7・7cos(180°-A)、BD2=98+98cosA・・・②
①、②でBD2を消去して、34-30cosA=98+98cosA、128A=-64、cosA=-1/2、0<A<180°よりA=120°
(2) △ABDで余弦定理よりBD2=72+x2-2・7・xcos(180°-A)、BD2=153-24x+x2-6(12-x)cosA・・・③ △BCDで余弦定理より
BD2=72+x2-2・7・xcos(180°-A)、BD2=49+x2+14xcosA・・・④
③、④でBD2を消去して、153-24x+x2-6(12-x)cosA=49+x2+14xcosA、8(x+9)cosA=8(-3+13)
x+9>0より cosA=(-3x+13)/(x+9)
sinA=√(1-cos2A)ー√{1-(-3x+13)/(x+9)}=√{(x+9)2-(-3x+13)2}/(x+9)=√(-8x2+96x-88)/(x+9)=2√(2(-x2+12x-11))/(x+9)
(3) 四角形の面積Sは
S=△ABD+△BCD=1/2・3・(12-x)sinA+1/2・7・xsin(180°-A)=2(x+9)sinA=4√2√{-(x-6)2+25}
1<x<11よりx=6のとき最大値4√2・5=20√2をとる。
特別問題C~数学~
2・5-1=9、5・13-1=64、13・2-1=25はすべて平方数だから、実質的には2d-1,5d-1,13d-1が同時に平方数にならないことを示すことになる。
ある整数dに対して2d-1,5d-1,13d-1がすべて平方数と仮定し、矛盾を導く。
mod 4で考えると、Z/4Zの平方数は0と1だから、Z/4Zにおいて2d-1,5d-1,13d-1∈{0,1}、つまり2d.5d.13d∈{1,2}である。ここでZ/4Zにおいて2d∈{1,2}かつd(=5d)∈{1,2}ならばd=1だからZではd=4m+1とあらわすことができる。したがって、5d-1=20m+4=4(5m+1)、13d-1=52m+12=4(13m+3)であり、これが平方数であることから5m+1、13m+3は平方数である。
ここで再びZ/4Zで考えると5m+1∈{0,1}よりm∈{3,0}、13m+3∈{0,1}よりm∈{1,2}となるのだが、{1,2}∩{3,0}=φだからこのようなmは存在せず、矛盾が導かれた。
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