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3740時間目 ~ADVANCED~

次の漢字の読みを記せ。

レベルⅠ

Ⅰ 春嬉

Ⅱ 愚瞽

Ⅲ 臥所

レベルⅡ

Ⅰ 斑菜

Ⅱ 採蘚羅

Ⅲ 耐冬華

レベルⅢ

Ⅰ 不作余食

Ⅱ 手斧斫

Ⅲ 犁頭鯊

FINAL

豬膏母

特別問題A~雑学~

次の設問の答えとして最も適当なものを1つ選べ。

(1) タイ料理の「トムヤンクン」の「クン」の意味はどれ?
① 海老 ② 辛い ③ 煮る ④ 混ぜる
(2) 吉田松陰が初めて使ったとされる男性の一人称はどれ?
① 俺 ② それがし ③ 僕 ④ わし
(3) 都市高速以外の高速で「渋滞」の基準となる速度はどれ?
① 10km/h ③ 20km/h ③ 30km/h ④ 40km/h
(4) 卓球ボールの直径は次のどれ?
① 30mm ② 35mm ③ 40mm ④ 45mm
(5) 化学名を「アスコルビン酸」というビタミンはどれ?
① ビタミンA ② ビタミンB1 ③ ビタミンC ④ ビタミンD

特別問題B~数学~

座標平面上の2定点A(√2,0),B(-√2,0)に対し、条件PA・PB=2を満たして動く点P(x,y)を考える。x=rcosθ,y=sinθ (0<θ<π/4),r>0)とするとき、次の問いに答えよ。

(1) r2=4cos2θが成り立つことを示せ。
(2) 三角形PABの面積の最大値を求めよ。また、このときの点Pの座標を求めよ。 
[新潟大]

特別問題C~数学~

xyz空間の中で(0,0,1)を中心とする半径1の球面Sを考える。点Qが(0,0,2)以外のS上の点を動くとき、点Qと点(1,0,2)の2点を通る直線lと平面z=0との交点をRとおく。Rの動く範囲を求め、図示せよ。 [京都大]


3740時間目模範解答

レベルⅠ

Ⅰ 春嬉・・・しゅんき
意味:春の気分になって浮かれ遊ぶこと。一説に、若い気分に駆られて陽気になる。

Ⅱ 愚瞽・・・ぐこ
意味:愚かで物事の道理に暗いこと。また、その人。

Ⅲ 臥所・・・ふしど
意味:夜臥す所。寝床。寝所。ねや。

レベルⅡ

Ⅰ 斑菜・・・なずな[植]
概容:アブラナ科の越年草。

Ⅱ 採蘚羅・・・さそら
意味:香道に使用される香木の一つ。

Ⅲ 耐冬華・・・さざんか[植]
概容:ツバキ科の常緑小高木。

レベルⅢ

Ⅰ 不作余食・・・ふさよじき
意味:仏教で、斎以外には食事をとらないこと。

Ⅱ 手斧斫・・・ちょうなはつり
意味:手斧の跡を残して木材を削り仕上げること。

Ⅲ 犁頭鯊・・・さかたざめ[魚]
概容:サカタザメ科の海産硬骨魚。

FINAL

豬膏母・・・めなもみ[植]
概容:キク科の一年草。

特別問題A~雑学~

(1) ①
(2) ③
(3) ④
(4) ③
(5) ③

特別問題B~数学~

(1) PA2・PB2=22より、{(rcosθ-√2)2+(rsinθ)2}{(rcosθ+√2)2+(rsinθ)2}=4
(r2+2-2√2rcosθ)(r2+2+2√2rcosθ)=4、(r2+2)2-(2√2rcosθ)2=4、r4+4r2-8r2cos2θ=0、r2(r2+4-8cos2θ)=0
r>0よりr≠0だからr2=4(2cos2θ-1) ∴r2=4cos2θ・・・①
(2) 三角形PABの面積はAB=2√2となり一定だから、ABを底辺としたときの高さの最大値を考えればよい。このとき、A,Bはx軸上にあり、0<θ<π/4のときsinθ>0だから、y=rsinθが高さとなる。
このとき、①よりy2=r2sin2θ=4cos2θsin2θ=4(1-2sin2θ)sin2θ=-8(sin2θ-1/4)2+1/2
いま、0<θ<π/4のとき、0<sin^2θ<1/2だから、その範囲で上の値の最大値を求めると、sin2θ=1/4のときy2=1/2
このときy>0だからy=1/√2、よって面積の最大値は 1/2×y×AB=1/2×1/√2×2√2=1
また、点Pを求めるにはsin2θ=1/4よりsinθ=±1/2 0<θ<π/4よりsinθ=1/2、θ=π/6
これを①に代入するとr2=4cos(π/3)=2、r=±√2、r>0よりr=√2
よって、x=rcosθ=√2cos(π/6)=√6/2、y=rsinθ=√2sin(π/6)=√2/2
よって求める点Pは 
P(√6/2,√2/2)

特別問題C~数学~

球面Sの方程式は、x2+y2+(z-1)2=1、Q(x,y,z)、R(X,Y,0)とおくと、x2+y2+(z-1)2=1・・・①、z≠2・・・②
Qは直線PR上の点だから、OQ=(1-t)OP+tOR (tは実数)、(x,y,z)=(1-t)(1,0,2)+t(X,Y,0)
整理すると、x=1-t+tX=(X-1)t+1、y=tY、zー2(1-t)=-2t+2
これらを①および②に代入して{(X-1)+1}2+(tY)2+(-2t+1)2=1-2t+2≠2
すなわち {(X-1)2+Y2+4}{t2+2(X-3)t+1=0・・・③かつt≠0・・・④
③はt=0を解に持たないので、③を満たすtは④を満たす。したがって③を満たす実数tが存在するようなX,Yの満たす条件がR(X,Y,0)の動く範囲である。
(X-1)2+Y2+4≠0だから、③の判別式をDとすると、D/4=(X-3)2-{(X-1)2+Y2+4}・1≧0から-4X-Y2+4≧0 ゆえにX≦-Y2/4+1
よって、求める点Rの動く範囲はxy平面上でx≦-y2/4+1であり、の斜線部分で境界はすべて含む。

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