漢字戦場　～ブレイズム漢字講座ブログ～

3735時間目　～総合問題～

次の漢字の読みを記せ。

レベルⅠ

Ⅰ　夏の虫氷を笑う

Ⅱ　剖開

Ⅲ　能持

Ⅳ　没義道

レベルⅡ

Ⅰ　深山木の中の楊梅

Ⅱ　惹惹

Ⅲ　枚筮

Ⅳ　放出駅

レベルⅢ

Ⅰ　偲偲

Ⅱ　奔駛

Ⅲ　抨劾

Ⅳ　牆東王君公

特別問題A～数学～

数列{an}はa₁＝1,a₂＝2,a_n+2－2a_n+1＋a_n＝n＋1 (n＝1,2,3,…)を満たす。また、数列{b_n}をb_n＝a_n+1－a_nで定める。次の問いに答えよ。

(1) b_n+1をb_nを用いて表せ。
(2) 数列{b_n}の一般項を求めよ。
(3) 数列{a_n}の一般項を求めよ。　[和歌山大]

特別問題B～化学～

体積を自由に変えることができる1つの容器内に、水、ヘキサン、アルゴンがそれぞれ0.100molずつ入っている。気液平衡を常に保ちながら、次のⅠ～Ⅳを行った。
実験Ⅰ　温度を87℃にして、容器内の圧力が1.20×10⁵Paになるように容器の体積を変化させた。
実験Ⅱ　実験Ⅰに続いて、容器内の圧力を1.20×10⁵Paに保ちながら、温度をゆっくりと下げて57℃としたところ、容器内には物質の一部が凝縮していた。
実験Ⅲ　実験Ⅱに続いて、温度を57℃に保ちながら、容器内の物質がすべて気体になるまで容器の体積をゆっくりと増加させた。
実験Ⅳ　実験Ⅱに続いて、容器内の圧力を1.20×10⁵Paに保ちながら、温度をゆっくりと下げていくと、ヘキサンが凝縮し始めた。
ただし、容器内の液体の体積は無視でき、ヘキサン及びアルゴンは水に溶けず、またいずれの物質も反応しないものとする。気体は、すべて理想気体とする。水及びヘキサンの蒸気圧曲線は図1のとおりである。計算問題は有効数字2桁で答えよ。(0K＝－273℃、R＝8.31×10³Pa・L/(K・mol))

問1 実験Ⅰを行った後の容器の体積は何Lか。
問2 実験Ⅱを行った後のヘキサンの分圧は何Paか。
問3 実験Ⅱを行った後の液体の物質量は何molか。
問4 実験Ⅲにおいて、容器の体積を少なくとも何Lにする必要があるか。
問5 実験Ⅳにおいて、ヘキサンが凝縮し始める温度は何℃か。　[上智大]

特別問題C～数学～

複素数αに対して複素数平面上の3点O(0),A(α),B(α²)を考える。次の条件(Ⅰ),(Ⅱ),(Ⅲ)をすべて満たす複素数α全体の集合をSとする。
(Ⅰ) αは実数でも純虚数でもない。
(Ⅱ) |α|＞1である。
(Ⅲ) 三角形OABは直角三角形である。
このとき以下の問いに答えよ。

(1) αがSに属するとき、∠OAB＝π/2であることを示せ。
(2) 集合Sを複素数平面に図示せよ。
(3) x,yをα²＝x＋yiを満たす実数とする。αがSを動くとき、xy平面上の点(x,y)の軌跡を求め、図示せよ。　[筑波大]

3735時間目模範解答

レベルⅠ

Ⅰ　夏の虫氷を笑う・・・なつ(の)むしこおり(を)わら(う)
意味：見分が狭い者が威張った態度をとること。

Ⅱ　剖開・・・ほうかい
意味：切り開くこと。切り裂くこと。

Ⅲ　能持・・・のうじ
意味
①：持ち続けること。長持ちすること。
②：持つはたらきをするもの。また、その人。

Ⅳ　没義道・・・もぎどう
意味：情が無く、むごく扱うこと。不人情なこと。また、そのさま。

レベルⅡ

Ⅰ　深山木の中の楊梅・・・みやまぎ(の)なか(の)ようばい
意味：群を抜いて優れているもののたとえ。

Ⅱ　惹惹・・じゃじゃ
意味：軽やかなさま。

Ⅲ　枚筮・・・ばいぜい
意味：占う内容を明らかにせず、広く吉凶を占うこと。

Ⅳ　放出駅・・・はなてんえき[地]
概容：大阪府大阪市鶴見区放出東三丁目にある駅。

レベルⅢ

Ⅰ　偲偲・・・しし
意味：互いに努力し善を励ましあうさま。

Ⅱ　奔駛・・・ほんし
意味
①：はしり駆けること。
②：馬や水流などの速いこと。

Ⅲ　抨劾・・・ほうがい
意味：罪状を調べ上げること。

Ⅳ　牆東王君公・・・しょうとうおうくんこう
意味：騒乱の世を避け、牛を飼って隠れた王君公の故事から、隠者の称。

特別問題A～数学～

(1) a₁＝1、a₂＝2、a_n+2－2a_n+1＋a_n＝n＋1・・・①、①より(a_n+2－a_n+1)－(a_n+1－a_n)＝n＋1
よって、b_n+1－b_n＝n＋1・・・②
(2) b₁＝a₂－a₁＝1、②より数列{b_n}の階差数列は{n＋1}であるから、n≧2のとき
$\displaystyle b_n=b_1+\sum^{n-1}_{k=1}(k+1)$

$=1+\frac{1}{2}n(n-1)+(n-1)$

$=\color{cyan}{\cfrac{1}{2}n(n+1)}$
結果はn＝1のときでも成り立つ。
(3) a_n+1－a_n＝1/2・n(n＋1)、数列{a_n}の階差数列は{1/2・n(n＋1)}であるから、n≧2のとき
$\displaystyle a_n=a_1+\sum^{n-1}_{k=1}\frac{1}{2}(k^2+k)\\=1+\frac{1}{2}\{\frac{1}{6}n(n-1)(2n-1+\frac{1}{2}n(n-1)\}\\=\color{red}{\cfrac{1}{6}(n^3-n+6)}$
結果はn＝1のときでも成り立つ。

※数列問題出題の難儀
数列問題は出題自体が厄介である。下付け、上付けの作業が半端ない。この作業に辟易して出題を避けることが多い。
「ごちうさ問題やベクトル、前回の問題もきついだろきみぃー！」と言いたいかもしれないが、ベクトルや前回の問題などは大学表記で代替できるからそこまでではない。無理にLaTeXを使ってもスマホユーザーはPCビュアーにしないと見れなくなる。だから数列は一番めんどくさいのである。受験に出る以上、決して無視を決めたいわけではない。

特別問題B～化学～

問1 すべての物質が気体と仮定すると、水の分圧は4.00×10⁴paとなる。これは87℃の水の蒸気圧より小さいので、実験Ⅰではすべて気体である。よって、体積vは
1.20×10⁵×v＝(0.100×3)×8.31×10³×(87＋293)　∴v＝7.479→7.5L
問2 実験Ⅳでヘキサンが凝縮し始めるので、実験Ⅱで凝縮した物質は水であり、ヘキサンとアルゴンは気体である。57℃の水の飽和蒸気圧は2.00×10⁴Paなので、ヘキサンとアルゴンの分圧は
(1.20×10⁵－2.00×10⁴)×1/2＝5.0×10⁴Pa
問3 同温・同体積では物質量の比＝分圧の比なので、水蒸気の物質量をn[mol]とすると、ヘキサンと水蒸気について
0.100：n＝5.0×10⁴：2.00×10⁴、n＝0.040、よって、水蒸気の水の物質量は0.100－0.040＝0.060mol(6.0×10^-2mol)
問4 水蒸気0.100molの分圧が2.00×10⁴Paになるときの体積を求める。体積をVとすると
2.00×10⁴×V＝0.100×8.31×10³×(57＋273)
V＝13.7115→14L
問5 ヘキサンp_x[Pa]がすべて気体、水p_y[Pa]がすべて気液平衡のとき
p_x＝(1.20×10⁵－p_y)×1/2
上式において図が最も当てはまるのは49℃当たりなので求める温度は49℃

※グラフが見にくいため問5の±1℃はしかたない。

特別問題C～数学～

(1) 全体をα(≠0)で割る。0は0、α,α²はそれぞれ1,αに移る。A,Bが移った先の点をそれぞれA',B'とおく。O(0),A'(1),B'(α)である。
△OABの形状と△OA'B'の形状は等しい。αがSに属するとき、条件(Ⅲ)より△OA'B'のいずれかの角がπ/2である。
(ア) ∠OB'A'＝π/2のとき、最大角が∠OB'A'であるから最大辺はOA'であり、OB'＝OA'となるが、条件(Ⅱ)に反する。
(イ) ∠A'OB'＝π/2のとき、B'は虚数軸上にあるが、これは条件(Ⅰ)に反する。
以上より、αがＳに属するとき、∠OA'B'＝π/2であり、このとき、∠OAB＝π/2である。
(2) B'(α)である。αが集合Sに属するとき、∠OA'B'＝π/2よりA'B'はy軸に平行である。条件(Ⅰ)より、α≠1であることに注意して、集合Sは直線x＝1から点(1,0)を除いたものとなり、図示すると、図1
(3) αが集合Sに属するとき、t≠0なる実数tを用いて、α＝1＋tiと表される。このとき、α²＝(1＋ti)²＝1－t²＋2ti、α²＝x＋yiから
x＋yi＝1－t²－2ti　x,y,tは実数よりx＝1－t²・・・①、y＝2t・・・②、t≠0よりy≠0、また、②よりt＝y/2である。
①へ代入してx＝1－(y/2)²、∴x＝－y²/4＋1。以上より求める軌跡は放物線x＝－y²/4＋1かつy≠0を満たす部分であり、図示すると、図2

現在病気療養中です。支援については

一日一回↓をクリック。