漢字戦場　～ブレイズム漢字講座ブログ～

3734時間目　～諺・四字熟語～

次の漢字の読みを記せ。

ことわざ

Ⅰ　室に入りて矛を操る

Ⅱ　金槌の川流れ

Ⅲ　淵川に蓋はならぬ

Ⅳ　酔翁の意は酒に在らず

Ⅴ　九族既に睦じくして百姓を平章す

四字熟語

Ⅰ　悲歌悵飲

Ⅱ　世運隆替

Ⅲ　孤苦零丁

Ⅳ　下喬入幽

Ⅴ　嘉耦天成

特別問題A～雑学～

次の設問に答えなさい。

(1) 野球において、守備側がフライを捕球した後、一度塁に戻ったランナーが次の塁を狙うプレーを何というでしょう？
(2) ともに麻雀・MリーグのEX風林火山に所属する、姉・瑠美、妹・亜樹のプロ雀士姉妹の苗字は何でしょう？
(3) 入院患者の枕元に置かれる、用事があるときに看護師を呼ぶためのボタンを何というでしょう？
(4) 法華経三部経を経典とし、先祖供養を重要視する、1938年に庭野日敬と長沼妙佼により創始された新興宗教は何でしょう？
(5) 獲物を食べるときに涙を流すという西欧の伝説から「ウソ泣き」を英語でいったときに出てくる動物は何でしょう？

特別問題B～数学～

次の問いに答えよ。

(1) 2023は素数か。
(2) 10n＋aがpで割り切れるとき、n－maはpで割り切れることを示せ。但し、mは整数とする。

特別問題C～数学～

次の条件を満たす3以上の整数m,nの組(m,n)をすべて決定せよ。
条件：$\cfrac{a^m+a-1}{a^n+a^2-1}$が整数となるような正の整数aが無限個存在する。

3734時間目模範解答

ことわざ

Ⅰ　室に入りて矛を操る・・・しつ(に)い(りて)ほこ(を)と(る)
意味：相手の議論を逆用して相手を攻撃するたとえ。

Ⅱ　金槌の川流れ・・・かなづち(の)かわなが(れ)
意味：いつも下積みで頭角を現すことのないたとえ。

Ⅲ　淵川に蓋はならぬ・・・ふちかわ(に)ふた(はならぬ)
意味：自殺しようとしている者をとどまらせるのは難しいというたとえ。

Ⅳ　酔翁の意は酒に在らず・・・すいおう(の)い(は)さけ(に)あ(らず)
意味：酔った翁の考えは、何も酒に飲み求めているのではない。ほかに山水の景色に意を引かれているのである。

Ⅴ　九族既に睦じくして百姓を平章す・・・きゅうぞくすで(に)むつま(じくして)ひゃくしょう(を)べんしょう(す
意味：一家一族のものが親睦したら、それを本としてまた人民全体にもおのおのその俊徳を明らかにするようにする。

四字熟語

Ⅰ　悲歌悵飲・・・ひかちょういん
意味：悲しげに歌い、嘆きながら酒盛りすること。

Ⅱ　世運隆替・・・せうんりゅうたい
意味：世の中の成り行きが、時代が移るに従い、盛んになったり衰えたりすること。

Ⅲ　孤苦零丁・・・こくれいてい
意味：身寄りもなく落ちぶれて苦しむこと。

Ⅳ　下喬入幽・・・かきょうにゅうゆう
意味：よいところから悪いところへ移ることのたとえ。

Ⅴ　嘉耦天成・・・かぐうてんせい
意味：天の働きによって、よい配偶者と自然に巡り合うこと。

特別問題A～雑学～

(1) タッチアップ
(2) 二階堂
(3) ナースコール
(4) 立正佼成会
(5) ワニ

特別問題B～数学～

(1) 2023＝7×17²で素数ではない。
(2) pk＝10n＋a、a＝pk－10n、∴n－ma＝n－m(pk－10n)＝(10m＋1)n－pmk
(10m＋1)nは任意の数をとるのでn－maはpで割り切れる。

※背景には素数の判別法がある。任意のmを用いることで何の倍数かを調べることができる。10m＋1がpで割り切れるmを探す。
2023ならばm＝2ならば3×2＝6で194⇒67⇒7となり7で割り切れる。

特別問題C～数学～

f(x)＝x^m＋x－1、g(x)＝xⁿ＋x²－1とおく。まず(m,n)が与えられた条件を満たすための必要十分条件はg(x)|f(x)であることを証明する。十分制は明らかなので必要性を示せばよい。
f(x)をg(x)で割ったときの商をq(x)、余りをr(x)とおく。このときq(x),r(x)∈Z[x]なのでf(x)/g(x)＝q(x)＋r(x)/g(x)よりa∈Zに対してf(a)/g(a)∈Z⇔r(a)/g(a)∈Zである。deg(r)＜drg(g)より$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{r(x)}{g(x)}=0$なので、十分大きなxに対して|r(x)/g(x)|＜1である。
したがって、(m,n)が与えられた条件を満たすときr(a)/g(a)＝0、すなわちr(a)＝0となるような正の整数aが無限個存在するのでr(x)＝0である。
m,nがg(x)|f(x)を満たすと仮定する。gは閉区間[0,1]上連続で狭義単調増加であり、g(0)＝－1＜0、g(1)＝1＞0なのでg(α)＝αⁿ＋α²－1＝0を満たすα∈(0,1)がただ一つ存在する。g(x)|f(x)よりf(α)＝α^m＋α－1＝0である。このとき0＜α＜1、n≧3よりα^m－α²ⁿ＝(1－α)－(1－α²)²＝α(1－α)(α²＋α－1)＞α(1－α)(α²＋αⁿ－1)＝0なのでm＜2nである。g(x)|f(x)よりm＞nなのでk＝m－nとおくと、1≦k≦n－1
f(x)/g(x)＝q(x)∈Z[x]よりZ∋q(2)＝f(2)/g(2)＝(2^m＋1)/(2ⁿ＋3)＋(2^n+k＋1)/(2ⁿ＋3)＝2^k－(3・2^k－1)/(2ⁿ＋3)なので(3・2^k－1)/(2ⁿ＋3)∈Zである。
1≦k≦n－2なら0＜f(n－2)/g(n－2)＜3/4より矛盾し、k＝n－1である。このとき
0＜(3・2^k－1)/(2ⁿ＋3)＝(3・2^n-1－1)/(2ⁿ＋3)＜(3・2^n-1)/2ⁿ＝3/2より(3・2^n-1)/(2ⁿ＋3)＝1となりn＝3,k＝2,m＝5を得る。
(m,n)＝(5,3)のとき、f(x)＝x⁵＋x－1＝(x²－x＋1)(x³＋x²－1)＝(x²－x＋1)g(x)となりg(x)|f(x)を満たす。
以上より、求めるm,nの組は(m,n)＝(5,3)

※整数については難問続きである。というのも整数問題が最も難問を作りやすい分野でもあるのでテクニックやノウハウをつかめない状態だと完答は難しいのかもしれない。そもそもこんな問題入試に出ない。

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