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3714時間目 ～漢検一級～
次の問いに答えよ。
漢検一級配当読み
次の漢字の読みを記せ。
Ⅰ 氷槊
Ⅱ 攘捲
Ⅲ 洗腆
Ⅳ 渙沍
四字熟語・諺
次の四字熟語・諺の読みと意味を記せ。
Ⅰ 草萊を辟く
Ⅱ 哀愍自謹の砌
Ⅲ 胡説乱道
当て字・熟字訓
次の当て字・熟字訓の読みを記せ。
Ⅰ 白屈菜
Ⅱ 人頽
Ⅲ 灰酒
特別問題A～数学～
2次方程式25x2－35x＋2k＝0の2つの解がそれぞれsinθ、cosθであるとする。kの値を求めよ。 [自治医大]
特別問題B～数学～
p＞0とする。双曲線x2－y2＝1に点P(0,p)から2本の接線を引いて、それぞれの接点をA,Bとするとき、△PABの面積を最小にするようなpの値を求めよ。 [京都大]
特別問題C～数学～
任意の実数a,b,cに対して不等式
|ab(a2－b2)＋bc(b2－c2)＋ca(c2－a2)|≦M(a2＋b2＋c2)2
が成り立つような最小の実数Mを求めよ。
3714時間目模範解答
漢検一級配当読み
Ⅰ 氷槊・・・ひょうさく
意味：氷のように鋭く光る矛。
Ⅱ 攘捲・・・じょうけん
意味：たもとをかかげまくる。
Ⅲ 洗腆・・・せんてん
意味：丁重にもてなす。自分で食器を洗ってもてなす。
Ⅳ 渙沍・・・かんご
意味：氷がとけることと凍ること。
四字熟語・諺
Ⅰ 草萊を辟く・・・そうらい(を)ひら(く)
意味：新分野を開拓する。また、乱れていた天下を治め統一するたとえ。
Ⅱ 哀愍自謹の砌・・・あいみんじきん(の)みぎり
意味：神仏をあわれみを受けて、自らつつしむとき。
Ⅲ 胡説乱道・・・こせつらんどう
意味：筋の通らないでたらめなことば。
当て字・熟字訓
Ⅰ 白屈菜・・・くさのおう[植]
概容：ケシ科の越年草。
Ⅱ 人頽・・・ひとなだれ
意味：大勢の人が押されて、雪崩のようにどっとと崩れること。
Ⅲ 灰酒・・・あくざけ
意味：腐敗を防ぐため、発酵後、絞る前に灰汁を加えて作る赤い酒。
特別問題A～数学～
sinθ＋cosθ＝7/5・・・①、sinθcosθ＝2k/25・・・②
①の両辺を2乗して、sin2θ＋sinθcosθ＋cos2θ＝49/25、1＋2sinθcosθ＝49/25
sinθcosθ＝12/25、②よりk＝25/2・sinθcosθ＝6
特別問題B～数学～
x2－y2＝1・・・①、A(α,β) (α＞0)とすれば、PA：αx－βy＝1・・・②、α2－β2＝1・・・③
②は点P(0,p) (p＞0)を通るので、－βp＝1、β＝－1/p、③に代入してα2－1/p2＝1、α＝1/p・√(1＋p2) (α＞0)
したがって、A(1/p・√(p2＋1),－1/p)、ここで、△PABの面積をS(p)とすれば
S(p)＝(p＋1/p)×1/p・√(1＋p2) (p＞0)＝√{(p2＋1)3p-4}
いま、f(p)＝(p2＋1)3p-4 (p＞0)とすれば
f'(p)＝3(p2＋1)22p・p-4＋(p2＋1)3・(－4p-5)＝2(p2＋1)p-5{3p2－2(p2＋1)}＝2(p2＋1)2p-5(p2－2)
したがって、増減表は以下のようになる。
\[ \begin{array}{|c||c|c|c|c|} \hline
p & 0 & \cdots & \sqrt2 & \cdots \\ \hline
f'(p) & & - & 0 & + \\ \hline
f(p) & & \searrow & & \nearrow \\ \hline
\end{array}
\]
よって、求めるpの値はp＝√2
特別問題C～数学～
多項式ab(a2－b2)＋bc(b2－c2)＋ca(c2－a2)はa＝bとすると0になることからa－bで割り切れる。同様にb－c,c－aも割り切れるので
|ab(a2－b2)＋bc(b2－c2)＋ca(c2－a2)|＝|(a－b)(b－c)(a－c)(a＋b＋c)|を得る。
対称性よりa≧b≧cと仮定しても一般性を失わない。x＝a－b、y＝b－c、z＝a－c、w＝a＋b＋cとおく。(z＝x＋yとなる)。相加相乗平均の関係より
|(a－b)(b－c)(a－c)(a＋b＋c)|＝|xyzw|≦|((x＋y)/2)2zw|＝1/4・|z3w|
またx2＋y2－(x＋y)2/2＝(x＋y)2/2≧0より
(a2＋b2＋c2)2＝[1/3・{(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2＋(a＋b＋c)2}]2＝{1/3・(x2＋y2＋z2＋w2)}2≧[1/3・{(x+y)2/2＋z2＋w2}]2＝1/9・(3/2・z2＋w2)2
再び相加相乗平均より
1/9・(3/2・z2＋w2)2＝16/9・{1/4・(z2/2＋z2/2＋z2/2＋w2}2≧16/9・(∜(z2/2・z2/2・z2/2・w2))2＝4√2/9・|z3w|
以上から、|ab(a2－b2)＋bc(b2－c2)＋ca(c2－a2)|≦1/4・9/4√2・(a2＋b2＋c2)2＝9√2/32・(a2＋b2＋c2)2
よってM＝9√2/32について問題の不等式は成り立つ。等号成立の必要十分条件はx＝y、z2/2＝w2のときである。実際a＝1＋3√2/2、b＝1、c＝1－3√2/2とすれば条件を満たし、両辺は正になって等号が成り立つのでM＝9√2/32が最小であることがわかる。
※今回の内容はすべて数学となったが、避けたいとは言えども体調や問題管理の話もあったり・・・。また、今後一部特別問題を休止することもある。
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