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3714時間目 ~漢検一級~

次の問いに答えよ。

漢検一級配当読み

次の漢字の読みを記せ。

Ⅰ 氷槊

Ⅱ 攘捲

Ⅲ 洗腆

Ⅳ 渙沍

四字熟語・諺

次の四字熟語・諺の読みと意味を記せ。

Ⅰ 草萊を辟く

Ⅱ 哀愍自謹の砌

Ⅲ 胡説乱道

当て字・熟字訓

次の当て字・熟字訓の読みを記せ。

Ⅰ 白屈菜

Ⅱ 人頽

Ⅲ 灰酒

特別問題A~数学~

2次方程式25x2-35x+2k=0の2つの解がそれぞれsinθ、cosθであるとする。kの値を求めよ。 [自治医大]

特別問題B~数学~

p>0とする。双曲線x2-y2=1に点P(0,p)から2本の接線を引いて、それぞれの接点をA,Bとするとき、△PABの面積を最小にするようなpの値を求めよ。 [京都大]

特別問題C~数学~

任意の実数a,b,cに対して不等式
|ab(a2-b2)+bc(b2-c2)+ca(c2-a2)|≦M(a2+b2+c2)2
が成り立つような最小の実数Mを求めよ。


3714時間目模範解答

漢検一級配当読み

Ⅰ 氷槊・・・ひょうさく
意味:氷のように鋭く光る矛。

Ⅱ 攘捲・・・じょうけん
意味:たもとをかかげまくる。

Ⅲ 洗腆・・・せんてん
意味:丁重にもてなす。自分で食器を洗ってもてなす。

Ⅳ 渙沍・・・かんご
意味:氷がとけることと凍ること。

四字熟語・諺

Ⅰ 草萊を辟く・・・そうらい(を)ひら(く)
意味:新分野を開拓する。また、乱れていた天下を治め統一するたとえ。

Ⅱ 哀愍自謹の砌・・・あいみんじきん(の)みぎり
意味:神仏をあわれみを受けて、自らつつしむとき。

Ⅲ 胡説乱道・・・こせつらんどう
意味:筋の通らないでたらめなことば。

当て字・熟字訓

Ⅰ 白屈菜・・・くさのおう[植]
概容:ケシ科の越年草。

Ⅱ 人頽・・・ひとなだれ
意味:大勢の人が押されて、雪崩のようにどっとと崩れること。

Ⅲ 灰酒・・・あくざけ
意味:腐敗を防ぐため、発酵後、絞る前に灰汁を加えて作る赤い酒。

特別問題A~数学~

sinθ+cosθ=7/5・・・①、sinθcosθ=2k/25・・・②
①の両辺を2乗して、sin2θ+sinθcosθ+cos2θ=49/25、1+2sinθcosθ=49/25
sinθcosθ=12/25、②よりk=25/2・sinθcosθ=
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特別問題B~数学~

x2-y2=1・・・①、A(α,β) (α>0)とすれば、PA:αx-βy=1・・・②、α2-β2=1・・・③
②は点P(0,p) (p>0)を通るので、-βp=1、β=-1/p、③に代入してα2-1/p2=1、α=1/p・√(1+p2) (α>0)
したがって、A(1/p・√(p2+1),-1/p)、ここで、△PABの面積をS(p)とすれば
S(p)=(p+1/p)×1/p・√(1+p2) (p>0)=√{(p2+1)3p-4}
いま、f(p)=(p2+1)3p-4 (p>0)とすれば
f'(p)=3(p2+1)22p・p-4+(p2+1)3・(-4p-5)=2(p2+1)p-5{3p2-2(p2+1)}=2(p2+1)2p-5(p2-2)
したがって、増減表は以下のようになる。
\[ \begin{array}{|c||c|c|c|c|} \hline
p & 0 & \cdots & \sqrt2 & \cdots \\ \hline
f'(p) &  & - & 0 & + \\ \hline
f(p) &  & \searrow &  & \nearrow \\ \hline
\end{array}
 \]
よって、求めるpの値は
p=√2

特別問題C~数学~

多項式ab(a2-b2)+bc(b2-c2)+ca(c2-a2)はa=bとすると0になることからa-bで割り切れる。同様にb-c,c-aも割り切れるので
|ab(a2-b2)+bc(b2-c2)+ca(c2-a2)|=|(a-b)(b-c)(a-c)(a+b+c)|を得る。
対称性よりa≧b≧cと仮定しても一般性を失わない。x=a-b、y=b-c、z=a-c、w=a+b+cとおく。(z=x+yとなる)。相加相乗平均の関係より
|(a-b)(b-c)(a-c)(a+b+c)|=|xyzw|≦|((x+y)/2)2zw|=1/4・|z3w|
またx2+y2-(x+y)2/2=(x+y)2/2≧0より
(a2+b2+c2)2=[1/3・{(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2+(a+b+c)2}]2={1/3・(x2+y2+z2+w2)}2≧[1/3・{(x+y)2/2+z2+w2}]2=1/9・(3/2・z2+w2)2
再び相加相乗平均より
1/9・(3/2・z2+w2)2=16/9・{1/4・(z2/2+z2/2+z2/2+w2}2≧16/9・(∜(z2/2・z2/2・z2/2・w2))2=4√2/9・|z3w|
以上から、|ab(a2-b2)+bc(b2-c2)+ca(c2-a2)|≦1/4・9/4√2・(a2+b2+c2)2=9√2/32・(a2+b2+c2)2
よってM=9√2/32について問題の不等式は成り立つ。等号成立の必要十分条件はx=y、z2/2=w2のときである。実際a=1+3√2/2、b=1、c=1-3√2/2とすれば条件を満たし、両辺は正になって等号が成り立つのでM=9√2/32が最小であることがわかる。

※今回の内容はすべて数学となったが、避けたいとは言えども体調や問題管理の話もあったり・・・。また、今後一部特別問題を休止することもある。

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