3707時間目 ~漢検一級音読み~
次の漢字の読みを記せ。
SET-A-
Ⅰ 重屏禁
Ⅱ 黛色
Ⅲ 癆気
Ⅳ 截金
SET-B-
Ⅰ 朱殷
Ⅱ 単鉤
Ⅲ 恭虔
Ⅳ 恣暴
SET-C-
Ⅰ 捐瘠
Ⅱ 攀雲
Ⅲ 悒憤
Ⅳ 深眷
特別問題A~英語~
次の( )に入るものとして最も適当なものを1つ選べ。
(1) You have to ( ) the costs of the new system against the benefits it will bring. [慶応大]
① cover ② discover ③ pay ④ weigh
(2) We express our thoughts by ( ) of words. [桃山学院大]
① ways ② help ③ means ④ method
(3) Workers can leave the factory early ( ) they have received permission to do so from a supervisor.
① otherwise ② expect for ③ in spite of ④ provided that
特別問題B~数学~
円Oに四角形ABCDが内接している。このとき、次の各問いに答えよ。
(1) Oの半径を1とし、BDがOの中心を通り、AB=2/√3、AC=5/√3・CDの場合に、CDの長さとABCDの面積を求めよ。
(2) 一般の場合に、各点A,B,C,DにおけるOの4つの接線をそれぞれl1,l2,l3,l4とする。l1とl2の交点をE、l2とl3の交点をF、l3とl4の交点をG、l4とl1の交点をHとする。このとき、四角形EFGHが外接円を持つための必要十分条件は、「ACとBDが直交すること」であることを示せ。 [明治大]
特別問題C~数学~
以下の条件を満たすような正整数の組(n,p)をすべて決定せよ。
・pは素数
・n≦2p
・(p-1)n+1はnp-1の倍数
3707時間目模範解答
SET-A-
Ⅰ 重屏禁・・・じゅうへいきん
意味:受刑者に科する懲罰の一つ。暗い罰室にこもらせ、寝具を与えないもの。
Ⅱ 黛色・・・たいしょく
意味
①:まゆずみの色。
②:山または樹木などの、青黒く見える色。
Ⅲ 癆気・・・ろうき
意味:肺結核の漢方名。
Ⅳ 截金・・・さいきん
意味:金や銀の薄板を細かく切ったもの。きりかね。
SET-B-
Ⅰ 朱殷・・・しゅあん
意味:黒い朱色。
Ⅱ 単鉤・・・たんこう
意味:人差し指と親指だけで筆を持って書く書法。
Ⅲ 恭虔・・・きょうけん
意味:うやうやしくて慎み深い。
Ⅳ 恣暴・・・しぼう
意味:わがままかってにあばれる。
SET-C-
Ⅰ 捐瘠・・・えんせき
意味:すてられ飢えやせる。
Ⅱ 攀雲・・・はんうん
意味:雲によじる。高いところによじ登る。
Ⅲ 悒憤・・・ゆうふん
意味:うれえいきどおる。
Ⅳ 深眷・・・しんけん
意味:深く目をかけていつくしむこと。深い恩顧。
特別問題A~英語~
(1) ④
訳:あなたは新体制にかかる費用とそれが生む利益を、比較検討しなければならない。
(2) ③
訳:私たちは考えを言葉によって表現する。
(3) ④
訳:作業員は、上司から早退の許可を得た場合のみ、工場を早退できる。
特別問題B~数学~
(1) ∠BAD=90°である。∠ABDをθとおく。cosθ=BA/BD=1/√3、AD=√(BD2-AD2)=√(4-4/3)=√(8/3)
CD=xとおく。AC=5x/√3であり、余弦定理よりAD2=CA2+CD2-2CA・CDcosθ、8/3=x2+25x2/3-2・x・5x/√3・1/√3
18x2=8、∴CD=2/3
∠BCD=90°であるからBC=√(BD2-CD2)=√(4-4/9)=4√2/3
四角形ABCDの面積は、△BCA+△BDC=1/2・2/√3・√(8/3)+1/2・4√2/3・2/3=2√2/3+4√2/9=10√2/9
(2) ACとBDの交点をPとする。∠AEB=180°-∠AOB、∠CGD=180°-∠CODとなる。∠AOB、∠CODは中心角であるから、∠AOB=2∠ACB、∠COD=2∠CBDにして∠AEB=180°-2∠ACB、∠CGD=180°-2∠CBDとなる。
辺々加えて∠AEB+∠CGD=360°-2(∠ACB+∠CBD)となる。ここで∠ACB=∠CBD=180°-∠CPBであるから、∠AEB+∠CGD=360°-2(180°-∠CPB)となる。∠AEB+∠CGD=2∠CPBである。よって
四角形EFGHが円に内接する⇔∠AEB+∠CGD=180°⇔∠CPB=90°⇔ACとBDが直交する。よって、示された。
特別問題C~数学~
まず、(1,p),(2,2)が1つの解を与えることはすぐわかる。n=1あるいはp=2のときはこれらしか解がないこともすぐ確認できる。
以下、n≧2,p≧3の時の解を探す。まず、このときはn=pでなくてはならないことを示す。
p≧3よりpは奇数なので、(p-1)n+1は奇数。よってnp-1|((p-1)n+1)よりnも奇数である。qを最小の素因数とする。
q|(p-1)n+1より(p-1)n≡-1 (mod q), (q,p-1)=1がわかる。フェルマーの小定理より、(p-1)q-1≡1 (mod q)である。qはnを割り切るので(n,q-1)=1であり、un+v(q-1)なる整数u,vは存在する。(uは奇数)
p-1≡(p-1)un・(p-1)v(q-1)≡(-1)u・1v≡-1 (mod 1)
よってq|pがわかり、nは奇数、かつ2p以下のpの倍数であることからn=pがわかる。
さて、n=pの時はpp-1|(p-1)p+1=p2(pp-2-pC1pp-3+・・・+pCp-3p-pCp-2+1)であり、一番右の式を見るとわかるように、(p-1)p+1はp2で割り切れるがp3では割り切れない。
よってp-1≦2であり、n≧2、p≧3ではp=n=3しかありえないことがわかる。
この組は確かに題意を満たすので、解は(1,p p:任意の素数),(2,2),(3,3)のみであることがわかる。
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