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3707時間目 ～漢検一級音読み～
次の漢字の読みを記せ。
SET－A－
Ⅰ 重屏禁
Ⅱ 黛色
Ⅲ 癆気
Ⅳ 截金
SET－B－
Ⅰ 朱殷
Ⅱ 単鉤
Ⅲ 恭虔
Ⅳ 恣暴
SET－C－
Ⅰ 捐瘠
Ⅱ 攀雲
Ⅲ 悒憤
Ⅳ 深眷
特別問題A～英語～
次の( )に入るものとして最も適当なものを1つ選べ。
(1) You have to ( ) the costs of the new system against the benefits it will bring. [慶応大]
① cover ② discover ③ pay ④ weigh
(2) We express our thoughts by ( ) of words. [桃山学院大]
① ways ② help ③ means ④ method
(3) Workers can leave the factory early ( ) they have received permission to do so from a supervisor.
① otherwise ② expect for ③ in spite of ④ provided that
特別問題B～数学～
円Oに四角形ABCDが内接している。このとき、次の各問いに答えよ。
(1) Oの半径を1とし、BDがOの中心を通り、AB＝2/√3、AC＝5/√3・CDの場合に、CDの長さとABCDの面積を求めよ。
(2) 一般の場合に、各点A,B,C,DにおけるOの4つの接線をそれぞれl1,l2,l3,l4とする。l1とl2の交点をE、l2とl3の交点をF、l3とl4の交点をG、l4とl1の交点をHとする。このとき、四角形EFGHが外接円を持つための必要十分条件は、「ACとBDが直交すること」であることを示せ。 [明治大]
特別問題C～数学～
以下の条件を満たすような正整数の組(n,p)をすべて決定せよ。
・pは素数
・n≦2p
・(p－1)n＋1はnp-1の倍数
3707時間目模範解答
SET－A－
Ⅰ 重屏禁・・・じゅうへいきん
意味：受刑者に科する懲罰の一つ。暗い罰室にこもらせ、寝具を与えないもの。
Ⅱ 黛色・・・たいしょく
意味
①：まゆずみの色。
②：山または樹木などの、青黒く見える色。
Ⅲ 癆気・・・ろうき
意味：肺結核の漢方名。
Ⅳ 截金・・・さいきん
意味：金や銀の薄板を細かく切ったもの。きりかね。
SET－B－
Ⅰ 朱殷・・・しゅあん
意味：黒い朱色。
Ⅱ 単鉤・・・たんこう
意味：人差し指と親指だけで筆を持って書く書法。
Ⅲ 恭虔・・・きょうけん
意味：うやうやしくて慎み深い。
Ⅳ 恣暴・・・しぼう
意味：わがままかってにあばれる。
SET－C－
Ⅰ 捐瘠・・・えんせき
意味：すてられ飢えやせる。
Ⅱ 攀雲・・・はんうん
意味：雲によじる。高いところによじ登る。
Ⅲ 悒憤・・・ゆうふん
意味：うれえいきどおる。
Ⅳ 深眷・・・しんけん
意味：深く目をかけていつくしむこと。深い恩顧。
特別問題A～英語～
(1) ④
訳：あなたは新体制にかかる費用とそれが生む利益を、比較検討しなければならない。
(2) ③
訳：私たちは考えを言葉によって表現する。
(3) ④
訳：作業員は、上司から早退の許可を得た場合のみ、工場を早退できる。
特別問題B～数学～
(1) ∠BAD＝90°である。∠ABDをθとおく。cosθ＝BA/BD＝1/√3、AD＝√(BD2－AD2)＝√(4－4/3)＝√(8/3)
CD＝xとおく。AC＝5x/√3であり、余弦定理よりAD2＝CA2＋CD2－2CA・CDcosθ、8/3＝x2＋25x2/3－2・x・5x/√3・1/√3
18x2＝8、∴CD＝2/3
∠BCD＝90°であるからBC＝√(BD2－CD2)＝√(4－4/9)＝4√2/3
四角形ABCDの面積は、△BCA＋△BDC＝1/2・2/√3・√(8/3)＋1/2・4√2/3・2/3＝2√2/3＋4√2/9＝10√2/9
(2) ACとBDの交点をPとする。∠AEB＝180°－∠AOB、∠CGD＝180°－∠CODとなる。∠AOB、∠CODは中心角であるから、∠AOB＝2∠ACB、∠COD＝2∠CBDにして∠AEB＝180°－2∠ACB、∠CGD＝180°－2∠CBDとなる。
辺々加えて∠AEB＋∠CGD＝360°－2(∠ACB＋∠CBD)となる。ここで∠ACB＝∠CBD＝180°－∠CPBであるから、∠AEB＋∠CGD＝360°－2(180°－∠CPB)となる。∠AEB＋∠CGD＝2∠CPBである。よって
四角形EFGHが円に内接する⇔∠AEB＋∠CGD＝180°⇔∠CPB＝90°⇔ACとBDが直交する。よって、示された。
特別問題C～数学～
まず、(1,p),(2,2)が1つの解を与えることはすぐわかる。n＝1あるいはp＝2のときはこれらしか解がないこともすぐ確認できる。
以下、n≧2,p≧3の時の解を探す。まず、このときはn＝pでなくてはならないことを示す。
p≧3よりpは奇数なので、(p－1)n＋1は奇数。よってnp-1|((p－1)n＋1)よりnも奇数である。qを最小の素因数とする。
q|(p－1)n＋1より(p－1)n≡－1 (mod q), (q,p－1)＝1がわかる。フェルマーの小定理より、(p－1)q-1≡1 (mod q)である。qはnを割り切るので(n,q－1)＝1であり、un＋v(q－1)なる整数u,vは存在する。(uは奇数)
p－1≡(p－1)un・(p－1)v(q-1)≡(－1)u・1v≡－1 (mod 1)
よってq|pがわかり、nは奇数、かつ2p以下のpの倍数であることからn＝pがわかる。
さて、n＝pの時はpp-1|(p－1)p＋1＝p2(pp-2－pC1pp-3＋・・・＋pCp-3p－pCp-2＋1)であり、一番右の式を見るとわかるように、(p－1)p＋1はp2で割り切れるがp3では割り切れない。
よってp－1≦2であり、n≧2、p≧3ではp＝n＝3しかありえないことがわかる。
この組は確かに題意を満たすので、解は(1,p p：任意の素数),(2,2),(3,3)のみであることがわかる。
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