3683時間目 ～総合問題～

2022年 08月02日

3683時間目　～総合問題～

category 日刊講習

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3683時間目　～総合問題～

次の漢字の読みを記せ。

レベルⅠ

Ⅰ　居丈高

Ⅱ　身軽言微

Ⅲ　沖虚

Ⅳ　打板

レベルⅡ

Ⅰ　雑魚の魚鰭

Ⅱ　膠柱

Ⅲ　節瘤立つ

Ⅳ　子捕子捕

レベルⅢ

Ⅰ　矜允

Ⅱ　睢䁨

Ⅲ　盪腸

Ⅳ　皛淼

特別問題A～数学～

次の問いに答えなさい。

(1) 座標平面上で曲線y＝x²の点(1,1)における接線をl₁、法線をl₂とする。l₁,l₂の方程式をそれぞれ求めよ。
(2) Pを直線l₁上の点とする。曲線y＝x²にPから引いた接戦でl₁でないものをl₃とし、l₃の接線をQとする。Pのx座標をtとするとき、Qの座標をtを用いて表せ。
(3) 曲線y＝x²のQにおける法線をl₄とし、l₂とl₄の交点をRとする。Pがl₁上を動いて点(1,1)に近づくとき、Rはある定点R₀に近づく。R₀の座標を求めよ。　[東京理科大]

特別問題B～数学～

a,b,c,d,eを正の実数として整式f(x)＝ax²＋bx＋c、g(x)＝dx＋eを考える。すべての正の実数nに対してf(n)/g(n)は整数であるとする。このとき、f(x)はg(x)で割り切れることを示せ。　[京都大]

特別問題C～生物～

輸血用血液の放射線照射に関する次の記述のうち、正しいものはどれか。

A：血液製剤の移植片対宿主病(GVHD)を予防できる。
B：吸収線量が1～10Gyの範囲で照射する。
C：効果を高めるために照射後1週間以上経過してから使用する。
D：新鮮液状血漿は照射対象外である。
E：血液成分のうち放射線の影響で最も受けるのはリンパ球である。　[放射線取扱主任者第一種]

3683時間目模範解答

レベルⅠ

Ⅰ　居丈高・・・いたけだか
意味：人を威圧するような態度。

Ⅱ　身軽言微・・しんけいげんび
意味：地位や身分が低いために、意見を言っても取り上げてもらえないこと。

Ⅲ　沖虚・・・ちゅうきょ
意味
①：何もないこと。
②：雑念を去り、心をむなしくすること。

Ⅳ　打板・・・ちょうはん
意味：主に禅宗の寺で庫裏などに掛け、時刻の合図などを打ち鳴らす楽器。

レベルⅡ

Ⅰ　雑魚の魚鰭・・・ざこ(の)うおひれ
意味：大きさの大小があるだけで、そのつくりや成分に差異はないことのたとえ。

Ⅱ　膠柱・・・こうちゅう
意味：法則にこだわって、融通が利かないことをたとえて言う語。

Ⅲ　節瘤立つ・・・ふしこぶだ(つ)
意味：節や瘤が多くて、至るところ盛り上がる。

Ⅳ　子捕子捕・・・ことろことろ
意味：児童の遊戯の一つ。ことり。

レベルⅢ

Ⅰ　矜允・・・きょういん
意味：あわれみゆるす。

Ⅱ　睢䁨・・・きかく
意味：驚き見るさま。

Ⅲ　盪腸・・・とうちょう
意味：腸をあらう。

Ⅳ　皛淼・・・きょうびょう
意味：むなしく広いさま。

特別問題A～数学～

解：(1) y＝2x－1、\(y=-\cfrac{1}{2}x+\cfrac{3}{2}\)

(2) Q(2t－1,(2t－1)²)

(3) \(R_0\left(-4,\cfrac{7}{2}\right)\)

(1) y＝x²のとき、y'＝2xだからl₁：2(x－1)＋1、∴y＝2x－1
l₂：y＝－1/2・(x－1)＋1　∴y＝－x/2＋3/2
(2) 点Qのx座標をq(≠1)とおくと、l₂の方程式はy＝2qx－q²とかけて、これが点P(t,2t－1)を通るから
2t－1＝2qt－q²⇔(q－1){q－(2t－1)}＝0、q≠0よりq＝2t－1、∴Q(2t－1,(2t－1)²)
(3) (2)の結果よりl₄の方程式はt≠1/2のとき、y＝－1/2(2t－1)・{x－(2t－1)}＋(2t－1)²
∴y＝－x/2(2t－1)＋4t²－4t＋3/2　これとl₃の方程式を連立させ
－x/2＋3/2ー－x/2(2t－1)＋4t²－4t＋3/2⇔－(t－1)x/(2t－1)＝4t(t－1)
t≠1としてよいのでx＝－4t(2t－1)、\(\displaystyle \lim_{t\to1}x=-4\)
∴R₀(－4,7/2)

特別問題B～数学～

2次式f(x)と1次式g(x)で割った商をpx＋q、余りをrとおくと、f(x)＝g(x)(px＋q)＋r
正の整数nに対しては、f(n)＝g(n)(pn＋q)＋r、g(n)＞0だからf(n)/g(n)＝pn＋q＋r/g(n)・・・①
①のときf(n＋1)/g(n＋1)＝p(n＋1)＋q＋r/g(n＋1)・・・②が成り立つから、②－①から
f(n＋1)/g(n＋1)－f(n)/g(n)＝p＋r/g(n＋1)－r/g(n)、g(n＋1)－g(n)＝d(n＋1)＋e－(dn＋e)＝dより、f(n＋1)/g(n＋1)－f(n)/g(n)＝p－dr/g(n)g(n＋1)・・・③
条件からf(n)/g(n)は整数であり、f(n＋1)/g(n＋1)－z_n (z_n：整数)とおくと、③はdr/g(n)g(n＋1)＝p－z_n
d＞0、g(n)＞0、g(n＋1)＞0であるが、rの符号は不明だから、上式の両辺の絶対値をとって、d|r|/g(n)g(n＋1)＝|p－z_n|・・・④
ここで、pに最も近い整数lとおくと、|p－z_n|≧|p－l|だから、④からd|r|/g(n)g(n＋1)≧|p－l|・・・⑤
nが限りなく大きくなるので⑤の左辺は限りなく0に近づく。したがって、|p－l|は0となり、p＝l、すなわちpは整数である。
よって、④において右辺は負でない整数である。ここでr≠0とすると、④の左辺は正だからd|r|/g(n)g(n＋1)≧1
nが限りなく大きいとき、左辺は限りなく0に近づくからこれは不合理である。
以上からr＝0となるのでf(x)はg(x)で割り切れる。