3596時間目 ~当て字・熟字訓~
次の漢字の読みを記せ。
Ⅰ 寸寸
Ⅱ 紫陽花
Ⅲ 水銀粉
Ⅳ 掃部寮
Ⅴ 朱鷺
Ⅵ 蛇頭魚
Ⅶ 皮蛋
Ⅷ 奠稲
Ⅸ 淫哇しい
Ⅹ 天木香樹
特別問題A~数学~
Cは直線x=1を軸とする上に凸な放物線であり、原点Oを通るとする。Cと曲線はy=2x√xの2個の共有点のうち0以外のものをA(a,2a√a)とおく。Cと曲線y=2x√xで囲まれた部分の面積をSとし、Cとx軸で囲まれた部分をTとする。このとき、次の問に答えよ。
(1) 放物線Cの頂点のy座標をaを用いて表せ。また、aのとり得る値の範囲を求めよ。
(2) Sをaを用いて表せ。
(3) 2S=Tとなるaがただ1つ存在することを示せ。 [北里大]
特別問題B~英語~
次の( )に入るものとして最も適当なものを1つ選べ。
(1) Who ( ) has read Shakespeare's beautiful poems can forget their fascination? [成城大]
① that ② which ③ who ④ whom
(2) I hadn't seen her more than 20 years, but I still ( ) her right away. [慶応大]
① realized ② recognized ③ resembled ④ resented
(3) The summer clothes were put ( ) for the next summer. [立教大]
① away ② in ③ off ④ with
特別問題C~数学~
放物線y=x2上に直線y=ax+1に関して対称な位置にある異なる2点P,Qが存在するようなaの範囲を求めよ。 [一橋大]
3596時間目模範解答
Ⅰ 寸寸・・・ずたずた
意味:切れ切れになるさま。
Ⅱ 紫陽花・・・あじさい[植]
概容:ガクアジサイから日本で改良された園芸品種
Ⅲ 水銀粉・・・はらや
意味:おしろいの一。水銀に明礬を加えて製したもの。
Ⅳ 掃部寮・・・かもんりょう
意味:律令制で、宮中の掃除や、儀場のの設営などをつかさどる役所。
Ⅴ 朱鷺・・・とき[鳥]
概容:ペリカン目トキ科の鳥。
Ⅵ 蛇頭魚・・・ぼら[魚]
概容:スズキ目ボラ科の海水魚。
Ⅶ 皮蛋・・・ピータン[食]
概容:家鴨の卵を使った食材。
Ⅷ 奠稲・・・くましね
意味:神仏に備えるために洗い清めた米。かしよね。
Ⅸ 淫哇しい・・・いやら(しい)
意味
①:態度などが好ましくない。
②:性的に不潔な感じだ。
Ⅹ 天木香樹・・・むろのき
概容:ヒノキ科の常緑高木ネズの異称。
特別問題A~数学~
(1) C:y=p(x-1)2+q (p<0)とおくと、Cは原点を通るから、p+q=0、q=-p、ゆえにC:y=p(x-1)2-p=p(x2-2x)・・・①
さらにCは点Aのy座標-pをaを用いて表すと、2√a/(2-a)、また、-p>0だからaのとり得る値の範囲は、0<a<2
(2) y=2x√x=2x3/2 (x>0)のとき、y'=3x1/2>0、y''=3x-1/2/2>0、ゆえにy=2x√xは原点を通り、下に凸で単調に増加する曲線であり、Sは図の青色部で
$S=\int^a_0\{\frac{2\sqrt a}{a-2}(x^2-2x)-2x^{\frac{3}{2}}\}dx$
$=[\frac{2\sqrt a}{a-2}(\frac{1}{3}x^3-x^2)-\frac{4}{5}x^{\frac{5}{2}}]^a_0$
$=\color{red}{\cfrac{2\sqrt a(a^3+3a^2)}{15(2-a)}}$
(3) $T=\int^2_0\frac{2\sqrt a}{a-2}(x^2-2x)dx=\frac{2\sqrt a}{a-2}\int^2_0x(x-2)dx$
$=\frac{\sqrt a}{3(2-a)}\cdot2^3=\cfrac{8\sqrt a}{3(2-a)}$
2S=Tとすると、{4√a(a3+3a2)}/15(2-a)=8√a/3(2-a)、∴a3+3a2=0、ここでf(x)=x3+3x2(0≦x≦2)とおくと、f(x)は増加関数でf(0)=0、f(2)=20であるから、f(a)=a3+3a2=10 (0<a<2)、すなわち2S=Tとなるaはただ1つ存在する。
特別問題B~英語~
(1) ①
訳:シェイクスピアの美しい詩を読んだことのある人で、誰がその魅力を忘れられようか。
(2) ②
訳:私は彼女に20年以上あっていなかったが、それでもすぐ彼女だとわかった。
(3) ①
訳:夏の衣服は来年の夏のために片づけられた。
特別問題C~数学~
まず、s=0のとき、直線はy=1であり、明らかに条件は成立しないからa≠0である。y=x2上の相異なる2点P,QをP(α,α2),Q(β,β2)とする。α≠βである。P,Qがy=ax+1に関して対称な位置にあるためには、線分PQがこの直線と垂直で ∴(α2-β2)/(α-β)=-1/a、∴α+β=-1/a・・・①であることと、線分PQの中点がこの直線上にある。 ∴(α2+β2)/2=a・(α+β)/2+1 ∴α2+β2=a(α+β)+2・・・②であることが必要十分条件である。
②は(α+β)2-2αβ=a(α+β)+2と変形できるから、①を代入して、1/a2-2αβ=1、∴αβ=1/2・(1/a2-1)となる。これと①により、α,βは2次方程式x2+x/a+1/2・(1/a2-1)=0の2つの解である。したがって、この2次方程式が相異なる2つの実数解をもつことが必要十分条件であり、判別式=1/a2-2(1/a2-1)>0
a≠-0よりa2>0だから両辺にa2をかけて1-2(1-a2)>0。2a2-1>0、∴a<-√3/2、√3/2<a
※これにて入試ラッシュは終了だが、最後は更新が詰まってしまった。
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