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3586時間目 ~総合問題~

次の漢字の読みを記せ。

レベルⅠ

Ⅰ 起居動静

Ⅱ 差し構い

Ⅲ 猟色

Ⅳ 外聞実儀

レベルⅡ

Ⅰ 駟馬も追う能わず

Ⅱ 柔瑟

Ⅲ 無頗

Ⅳ 熱蹶

レベルⅢ

Ⅰ 匪星

Ⅱ 呴兪

Ⅲ 咬群

Ⅳ 臥木は蠹を成し易く、棄花は再び春なり難し

特別問題A~数学~

a,b,c,dは自然数で、a5=b4、c3=b2、c-a=19を満たす。このとき、d-bの値を求めよ。

特別問題B~物理~

それぞれの物理定数を1とするような単位系を「プランク単位系」という。例えば超ひも理論における「一本のヒモ」の長さはプランク長さといい、その「一本のヒモ」の重さをプランク質量という。プランク長さは1.62×10-35[m]、プランク質量は2.18×10-8[kg]とする。但し、ボルツマン定数を1.38×10-20Pa・L・K-1とする。

(1) 光速cを2.998×108m/sとするとき、プランク時間tpを求めよ。
(2) プランク体積とプランク密度をそれぞれ求めよ。
(3) 圧力Pの最大値はプランク距離でできた面積にプランク質量にc/tpをかけて得られ、約4.636×10113Paとなる。ここで次のように仮定する。
「一本の粒子(ヒモ)がプランク単位系で持つものより大きい密度を与えられない」
このとき、温度には上限があることを示し、その値を求めよ。

特別問題C~数学~

ある0以外の実数xについて、x0=1となるのはなぜか。


3586時間目模範解答

レベルⅠ

Ⅰ 起居動静・・・ききょどうせい
意味:日常。また、立ち居振る舞い。身のこなしのこと。

Ⅱ 差し構い・・・さ(し)かま(い)
意味:不都合だとしてさしとめたり、とがめたりすること。

Ⅲ 猟色・・・りょうしょく
意味:次々と女を漁りまくること。手あたり次第に女に弄ぶこと。

Ⅳ 外聞実儀・・・がいぶんじつぎ
意味:見かけと実際。表向きと内実。

レベルⅡ

Ⅰ 駟馬も追う能わず・・・しば(も)お(う)あた(わず)
意味:一度口にしてしまったことは、取り返しがつかないたとえ。

Ⅱ 柔瑟・・・じゅうひつ
意味:しとやかな音色の琴。

Ⅲ 無頗・・・むは
意味:偏らない。公平。

Ⅳ 熱蹶・・・ねっけつ
意味:熱気でのぼせあがること。

レベルⅢ

Ⅰ 匪星・・・ひこう
意味:暇のないこと。不遑。

Ⅱ 呴兪・・・くゆ
意味:表面だけ顔色を喜ばす。いかにも柔和そうな顔色をすること。

Ⅲ 咬群・・・こうぐん
意味:馬が仲間を咬むこと。転じて、仲間をいじめること。

Ⅳ 臥木は蠹を成し易く、棄花は再び春なり難し・・・がぼく(は)と(を)な)し)やす(く、)きか(は)ふたた(び)はるな(り)がた(し)
意味:倒れた木には虫がつきやすく、落ちた花には春は再び訪れない。

特別問題A~数学~

5,4と3,2は互いに素であるから素因数分解の一意性によりa=m4、b=m5およびc=n2、d=n3を満たす自然数m,nが存在する。
したがって、19=c-a=n2-m4=(n-m2)(n+m2)が成り立つ。
19は素数でn-m2<n+m2であるからn-m2=1、n+m2=19を得る。したがって、n=10、m=3、d=1000、b=243より、d-b=1000-243=
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特別問題B~物理~

(1) プランク長さ÷光速より(1.62×10-35)/(2.998×108)=5.40×10-44[s]
(2) プランク体積は(1.62×10-35)3[m3]より 4.25×10-105[m3]
プランク密度は(2,18×10-8)/(4.25×10-105)=5.13×1096[kg/m]
(3) プランク単位系はそれぞれの物理定数を基準にしたものであり、これより最小のものは定義が困難である。仮定よりプランク単位系がプランク密度を与えるものを最大値とするとき、プランク単位系は最小値をとる。すると温度=圧力×体積÷ボルツマン定数には最大値(=上限)が存在し、その値は
(4.636×10113×4.25×10-105)÷(1.38×1020)=
1.43×1032K

小話:たびたび依頼されるスピ系の出題依頼した友達はスピ系を完全否定したい主義。
今回はスピ系の「温度の上限は無限であるから幸運(正のエネルギー)に上限はない」とか言うらしいので出してみたが、超ひも理論をかじってるのであれば今回の(3)(これをプランク温度という)は既知なような気がするが・・・。なお、プランク単位系以下(あるいは以上)は現代物理学の限界ではあるが、(3)の「温度には上限がある」というのはプランク単位系が崩れても存在は定義できる。残念!

特別問題C~数学~

x≠0より1/x=x-1が定義できる。また、x1=xである。ここで1/x・x=は指数法則にのっとるとx-1+1=1/x・x=1=x0
したがって、x0=1が成り立つ。

小話:00の場合、指数法則から01=0であるが、01-1を考えると0×x=01であるからすべての実数xをとる。00が1である理由は単純に言えば「都合がいい定義」であるからである。x0=1 (x≠0)を示せという問題は問3に定義のような問題を出す順天堂大が好みそうな感じはする。

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