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3582時間目 ～総合問題～
次の漢字の読みを記せ。
レベルⅠ
Ⅰ 御託を並べる
Ⅱ 功過格
Ⅲ 兵法者
Ⅳ 初他火
レベルⅡ
Ⅰ 寸草春暉
Ⅱ 拉殺
Ⅲ 擱浅
Ⅳ 賤俘
レベルⅢ
Ⅰ 檀欒
Ⅱ 柔蹯
Ⅲ 杼首
Ⅳ 沃醊
特別問題A～数学～
kを実数の定数とする。Oを原点とする座標平面上の円C：x2＋y2＋2x－4y＋k(2x－4y＋10)＝0について、次の各問いに答えよ。
(1) 円Cは定数kの値に関係なく定点を通る。定点の座標を求めよ。
(2) 点P(5,5)から円Cに引いた接点をYとする。このとき線分PTの長さを求めよ。
(3) kが任意の実数をとるとき、内積OP・OTの最大値を求めよ。 [芝浦工大]
特別問題B～英語～
次の英文を日本語に訳しなさい。
(1) We indeed hear it not seldom said that ignorance is the mother of admiration. A falser word was never spoken, and hardly a more mischievous one.
(2) Two US police officers who went off to hunt for Pokemon instead of responding to a robbery have been fired.
(3) According to investigative sources, it was discovered that Tanimoto purchased around 10 liters of gasoline in late November and may have intended to copy a deadly 2019 arson attack on an animation studio in Kyoto that left 36 people dead.
特別問題C～数学～
a,b,c,dを整数とし、a＞b＞c＞d＞0とする。これらがac＋bd＝(b＋d＋a－c)(b＋d－a＋c)をみたすとする。このとき、ab＋cdは素数でないことを示せ。
3582時間目模範解答
レベルⅠ
Ⅰ 御託を並べる・・・ごたく(を)なら(べる
意味：自分勝手なことをくどくどという。不平・不満をあれこれという。
Ⅱ 功過格・・・こうかかく
意味：中国の道教で民衆教化のために作った行為の善悪を定める道徳基準。
Ⅲ 兵法者・・・へいほうしゃ
意味：剣術など、武芸に巧みな者。兵法人。
Ⅳ 初他火・・・ういたび
意味：初潮の時、一人前の女性になった祝いに宴席を設けること。また、その祝宴。
レベルⅡ
Ⅰ 寸草春暉・・・すんそうしゅんき
意味：父母の恩・愛情は大きく、それに子がほんのわずかさえ報いるのが難しいことのたとえ。
Ⅱ 拉殺・・・ろうさつ
意味：手で押しつぶして殺す。ひしぎ殺す。
Ⅲ 擱浅・・・かくせん
意味
①：船が浅瀬に乗り上げて動けなくなること。
②：企業などで、資本の活用が止まること。
Ⅳ 賤俘・・・せんぷ
意味：卑しい捕虜。
レベルⅢ
Ⅰ 檀欒・・・だんらん
意味：竹の美しいさま。竹の長く伸びて群がるさま。
Ⅱ 柔蹯・・じゅうはん
意味：獣の柔らかな掌。
Ⅲ 杼首・・・ちょしゅ
意味：長い首。長寿の相。
Ⅳ 沃醊・・・よくてつ
意味：酒をそそいで地を祀る。
特別問題A～数学～
(1) x2＋y2＋2x－4y＋k(2x－4y＋10)＝0が任意のkで成り立つのは
x2＋y2＋2x－4y＝0・・・①、2x－4y＋10＝0・・・②がともに成り立つときである。②からx＝2y－5であり、これを①に代入すると
(2y－5)2＋y2－10＝0、これを解くと、y＝1,3を得る。x＝2y－5から求める定点はA(－3,1),B(1,3)
(2) (1)で求めた2点A,Bに対し、直線ABはCとA,Bで交わる。線分APの中点がBであるから、点Pは常にCの外部にあり、PからCへの接線が引ける。
さらに方べきの定理より、PT2＝PA・PB＝4√5・2√5＝40であるからPT＝2√10
(3) OP・OT＝－PO・(PT－PO)である。ここでPOとPTのなす角をθとすると
OP・OT＝|PO|2－|PO||PT|cosθ＝50－20√5cosθ≦50＋20√5
等号成立はθ＝180°のとき、このときO,P,Tはこの順に一直線に並び、PT＝2√10からPT(2√5,2√5)
よって、T(5＋2√5,5＋2√5)のときにOP・OTは最大値50＋20√5をとる。
特別問題B～英語～
(1) 称賛は無知から生まれるという言葉を耳にすること事実稀ではないが、これほど間違ったことが言われたことがないし、またこれほど有害なことが言われたことも少なくない。
(2) 強盗に対応する代わりにポケモン狩りに出かけた米国の警察官2人が解雇された。
(3) 捜査関係者によると、谷本容疑者は11月下旬に約10リットルのガソリンを購入、2019年の「京都アニメーション」放火殺人事件（36人が死亡）を模倣しようとした可能性があることが判明した。
特別問題C～数学～
ab＋cdが素数であると仮定する。ab＋cd＝(a＋d)c＋(b－c)a＝m・gcd(a＋d,b－c)がある正整数mに対して成り立つ。
仮定より、m＝1またはgcd(a＋d,b－c)＝1である。それぞれについて
m＝1の場合、このときgcd(a＋d,b－c)＝ab＋cdであるが、一方でgcd(a＋d,b－c)≦b－c＜ab＋cdなので不合理。
gcd(a＋d,b－c)＝1の場合、ac＋bd＝(a＋d)b－(b－c)aである。一方問題文の条件より、ac＋bd＝(b＋d＋a－c)(b＋d－a＋c)であるから
(a＋d)b－(b－c)a＝(b＋d＋a－c)(b＋d－a＋c)⇔(a＋d)(a－c－d)＝(b－c)(b＋c＋d)である。これより。ある正整数kによって、a－c－d＝k(b－c)、b＋c＋d＝k(a＋d)と書けることが分かる。
この2式を加えてa＋b＝k(a＋b－c＋d)⇔k(c－d)＝(k－1)(a＋b)を得る。a＞b＞c＞dよりk＝1のときはc＝dとなって不合理。k≧2のとき
2≧k/(k－1)＝(a＋b)/(c－d)＞2となって不合理。以上により、すべての場合が不合理であるから、ab＋cdは素数ではない。
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