3575時間目 ~ULTIMATE~
次の漢字の読みを記せ。
レベルⅠ
Ⅰ 雪風巻く
Ⅱ 松浦佐用姫
Ⅲ 宣ち
レベルⅡ
Ⅰ 臭草子
Ⅱ 軻遇突智神
Ⅲ 復蜟
レベルⅢ
Ⅰ 裏風草
Ⅱ 入内雀
Ⅲ 舒鳧
FINAL
良医匕首
特別問題A~数学~
座標平面上に放物線C:y2=4xと点(-1,a)がある。但し、aは実数とする。
(1) C上の点P(p2/4,p)における接線の方程式を用いた式で表せ。但しp≠0とする。
(2) 点AからCに引いた接線は2本存在することを証明せよ。まら、それら2本の接線は直交することを証明せよ。
(2) 点AからCに引いた2本の接線の接点をQ,Rとする。直線QRはCの焦点Fを通ることを示せ。 [山梨大]
特別問題B~英語~
次の( )の中に入るものとして最も適当なものを1つ選べ。
(1) His bicycle got rusty because it had been ( ) to him. [武蔵工大]
① exposed ② faced ③ involved ④ met
(2) ( ) used to be a lot of fireflies in Japan, but not any more. [京都産業大]
① It ② Once ③ There ④ They
(3) If you ( ) my advice, you will have to no trouble. [中央大]
① give ② ignore ③ forrow ④ write
特別問題C~数学~
kは実数であり、a2>bcを満たすいかなる正の数a,b,cに対しても(a2-bc)2>k(b2-ca)(c2-ab)が成立するという。このようなkのうち最大のものを求めよ。
3575時間目模範解答
レベルⅠ
Ⅰ 雪風巻く・・・ゆきしま(く)
意味:雪風が激しく吹きまくる。
Ⅱ 松浦佐用姫・・・まつうらさよひめ
概容:肥前の松浦の東方に住んでいたという美女。
Ⅲ 宣ち・・・のりご(ち)
意味:おおせになる。
レベルⅡ
Ⅰ 臭草子・・・くさぞうし
意味:江戸時代の絵入りの通俗読み物。
※別表記は「草双紙」。当て字フェイント。
Ⅱ 軻遇突智神・・・かぐつちのかみ
概容:記紀に見える火の神。
Ⅲ 復蜟・・・にしどち
意味:セミの幼虫、根切り虫の蛹、蚕の蛹などを言う。
レベルⅢ
Ⅰ 裏風草・・・うらじろ[植]
概容:シダ類ウラジロ科の常緑草木。
Ⅱ 入内雀・・あおじ[鳥]
概容:ホオジロ科の鳥。
Ⅲ 舒鳧・・・アヒル[鳥]
概容:カモ科の家禽。
FINAL
良医匕首・・・いぬなずな[植]
概容:アブラナ科の二年草。
特別問題A~数学~
(1) xをyで微分してx'=y/2であり、y=pにおける接線はx=p/2・(y-p)+p2/4、x=p/2・(y-p)+p2/4、x=py/2-p2/4
∴4x-2py+p2=0・・・①
(2) ①が点Aを通るとき、4(-1)-2pa+p2、p2-2ap-4=0・・・②
この判別式をDとすると、D/4=a2+4>0、接線は2本存在する。このとき②の2解をp1,p2とすると、解と係数の関係よりp1p2=-4である。
①の傾きは2/pである。2接線の傾きの積は2/p1・2/p2=-1となり、2接線は直交する。
(3) Q(p12/4,p1),R(p22/4.p2)として、直線QRはx={(p12/4-p22/4)}/(p1-p2)・(y-p1)+p12/4
x=(p1+p2)/4・(y-p1)+p12/4、x=(p1+p2)y/4-p1p2/4、x=(p1+p2)y/4+1
これはCの焦点F(1,0)を通る。
特別問題B~英語~
(1) ①
訳:彼の自転車は雨に晒されていたので、さび付いてしまった。
(2) ③
訳:日本には昔、ホタルがたくさんいたが、今はあまりいない。
(3) ③
訳:私の忠告に従えば、何の苦労もしないだろう。
特別問題C~数学~
まず、k≦4であることを証明する。そのためには、a2>bcを満たす任意の正の数a,b,cが(a2-bc)2>4(b2-ca)(c2-ab)・・・①を満たすことを証明すればよい。
b2≧caかつc2≧abであると仮定すると、b2・c2≧ca・ab=a2・bc>bc・bc=b2c2となる矛盾するのでb2<caまたはc2<abである。
b2<caかつc2≧abのときと、b≧caかつc2<baのときは(a2-bc)2>0≧4(b2-ca)(c2-ab)となるので①は成り立つ。
b2<caかつc2<abのときは(a2-bc)-(ca-b2)-(ab-c2)=1/2・{(b-c)2+(c-a)2+(a-b)2}>0よりa2-bc>(ca-b2)+(ab-c2)>0なので(a2-bc)2>{(ca-b2)+(ab-c2)}2≧4(ca-b2)(ab-c2)であり①が成立することが分かる。
次にk≦4であることを証明する。k>4とすると、0<ε<1かつ5ε<k-4であるようなεが存在するとき、a=1+ε>0、b=c=1>0とすると、a2-bc=(1+ε)2-1=2ε+ε2>0よりa2>bcであるが
(a2+bc)2=(2ε+ε2)2=ε2(ε2+4ε+4)>ε2(5ε+4)<kε2=k(-ε)(-ε)=k(b2-ca)(c2-ab)となり矛盾する。
よってk≦4である。以上よりk=4である。
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