漢字戦場　～ブレイズム漢字講座ブログ～

3571時間目　～漢検一級音読み～

次の漢字の読みを記せ。

SET－A－

Ⅰ　土苴

Ⅱ　回蹕

Ⅲ　兀坐

Ⅳ　繋匏

SET－B－

Ⅰ　昭曠

Ⅱ　渟涵

Ⅲ　牙後慧

Ⅳ　緇黄

SET－C－

Ⅰ　権譎

Ⅱ　帰聘

Ⅲ　民羸

Ⅳ　汲汲焉

特別問題A～雑学～

次の設問に答えなさい。

(1) 「ターザン」「BRUTUS」「an・an」といった雑誌を出版している出版社は何でしょう？
(2) 第1回夏の甲子園の優勝校は京都二中ですが、第1回春の選抜の優勝校は何でしょう？
(3) 大型であることから「チーズの王様」とも称される、チーズフォンデュなどに使われるスイス原産のチーズは何でしょう？
(4) 海上保安庁のマスコットキャラクター・うみまるとうーみんのモチーフになっている動物は何でしょう？
(5) ペテロの鍵やゼウスの雷のように、宗教画などで、特定の人物や神を象徴するために描かれるアイテムのことを何というでしょう？

特別問題B～数学～

平面上に長さ2の線分ABを直径とする円Cがある。2点A,Bを除くC上の点Pに対し、AP＝AQとなるように線分AB上の点Qをとる。また、直線PQと円Cの交点のうち、Pでない方をRとする。このとき、以下の問いに答えよ。

(1) △AQRの面積をθ＝∠PABを用いて表せ。
(2) 点Pを動かして△AQRの面積が最大になるとき、ARをABとAPを用いて表せ。　[大阪大]

特別問題C～数学～

ABCDEFを凸六角形として、AB∥ED、BC∥FE、CD∥AFであると仮定する。R_A、R_C、R_Eをそれぞれ三角形FAB,BCD,DEFの外接円の半径として、pを六角形の周囲の長さとする。このとき、次の不等式が成り立つことを証明せよ。
R_A＋R_C＋R_E≧p/2

3571時間目模範解答

SET－A－

Ⅰ　土苴・・・どしょ
意味
①：あくた。くず。つまらぬもののたとえ。
②：かすとみなす。軽蔑する。

Ⅱ　回蹕・・・かいひつ
意味：天子が皇宮へ帰る。

Ⅲ　兀坐・・・こつざ
意味：意識を忘れ去って、ぼんやり座る。

Ⅳ　繋匏・・・けいほう
意味：用もなくぶら下がっている瓢箪。無用者のたとえ。

SET－B－

Ⅰ　昭曠・・・しょうこう
意味：明るく広い。

Ⅱ　渟涵・・・ていかん
意味：水がとどまりひたす。水がよどむ。

Ⅲ　牙後慧・・・がこけい
意味：人の意見を受け売りする人。一説に、人の意見を聞かなくても、それを理解すること。

Ⅳ　緇黄・・・しこう
意味：黒と黄。転じて、僧侶と道士。

SET－C－

Ⅰ　権譎・・・けんけつ
意味：いつわりのはかりごと。

Ⅱ　帰聘・・・きへい
意味：帰って安否を問う。

Ⅲ　民羸・・・みんるい
意味：人民の疲れ。

Ⅳ　汲汲焉・・・きゅうきゅうえん
意味：忙しいさま。

特別問題A～雑学～

(1) マガジンハウス
(2) 高松商業
(3) エメンタルチーズ
(4) タテゴトアザラシ
(5) アトリビュート

特別問題B～数学～

(1) ∠APB＝π/2、∠APR＝(π－θ)/2であるから、∠BAR＝∠BPR＝∠APB－∠APR＝π/2－(π－θ)/2＝θ/2
そして、AQ＝AP＝ABcosθ＝2cosθ、AR＝ABcos(θ/2)＝2cos(θ/2)、よって
△AQR＝1/2・AQ・ARsin∠BAR＝1/2・2cosθ・2cos(θ/2)sin(θ/2)＝sinθcosθ＝1/2・sin2θ・・・①
(2) ①が最大となるのは、sin2θ＝1、θ＝π/4のときで、このときAP＝√2であるから
△APQ＝1/2・(√2)²sin(π/4)＝1/√2、△AQR＝1/2、よって、PQ：QR＝△APQ：△AQR＝√2：1
また、AQ＝1/√2・AB　点Rは線分PQを(√2＋1)：1に外分する点であるから
AR＝{(√2＋1)AQ－AB}/{(√2＋1)－1}＝(√2＋1)/√2・AQ－1/√2・AB＝(√2＋1)/√2・1/√2・AB－1/√2・AP＝(√2＋1)/√2・AB－√3/2・AP

特別問題C～数学～

正弦定理より、R_A＝BF/2sinA、R_C＝DB/2sinC、R_E＝FD/2sinBである。a＝AB,b＝BC,c＝CD,d＝DE,e＝EF,f＝FAとし、長方形PQRSを図のように定める。
BF≧PS＝PA＋SA＝asin∠ABP＋fsin∠AFSであるが、sin∠ABP＝sin∠CBA＝sinB、sin∠AFS＝sinCよりBF＝asinB＋fsinCを得られ
BF＝QR＝QD＋RD＝csinC＋dsinBが得られる。辺々加えて2BF≧(a＋d)sinB＋(c＋f)sinCが得られる。同様にして
2DB≧(c＋f)sinA＋(c＋b)sinB、2FD≧(c＋b)sinC＋(a＋d)sinAが得られる。これらを合わせて
4(R_A＋R_C＋R_E)＝2BF/sinA＋2DB/sinC＋2FD/sinB≧{(a＋d)sinB＋(c＋f)sinC}/sinA＋{(c＋f)sinA＋(c＋b)sinB}/sinC＋{(b＋c)sinC＋(a＋d)sinA}/sinB＝(a＋d)(sinB/sinA＋sinA/sinB)＋(b＋c)(sinC/sinB＋sinB/sinC)＋(c＋f)(sinA/sinC＋sinC/sinA)≧2(a＋d)＋2(b＋c)＋2(c＋f)＝2p
よって、R_A＋R_C＋R_E≧p/2が示された。

※今日における数学オリンピックは原則3,6問目の平均点が0.5(満点は7)を下回るが20世紀で平均点が0.5/7点を下回った問題がこれである。高校数学の美しい物語曰く手も足も出なかったという。
ただ皮肉なことに、数学五輪史上現在最も平均点が低い問題が実は過去問に存在し、3322時間目特別問題B～数学～のウサギとハンターの問題で、なんと平均点は驚異の0.042/7点である。正直管理人としてはモンテカルロの誤謬の方が難しく感じたが、いわゆる"フツウの人"には特問Bの方がはるかに脅威なのかもしれない。(模試提供者も当時の特問Bは手も足も出なかったという)

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