漢字戦場　～ブレイズム漢字講座ブログ～

3564時間目　～総合問題～

次の漢字の読みを記せ。

レベルⅠ

Ⅰ　歯向きが良い

Ⅱ　耐任

Ⅲ　額額

Ⅳ　競陰

レベルⅡ

Ⅰ　重茵

Ⅱ　避礙

Ⅲ　遺轍

Ⅳ　陶陶兀兀

レベルⅢ

Ⅰ　飲醼贈遺

Ⅱ　痞鬲

Ⅲ　稽淹

Ⅳ　花鞲扇

特別問題A～数学～

図のようなAB＝1、∠ABC＝90°の直角二等辺三角形がある。次のように赤線を引き、それをΔxとする。Δxはこのとき√2(1－x)と表せるので、これを0≦x≦1の範囲で積分し、面積を求めた。
式は$\int^1_0\sqrt2(1-x)dx$で表せる。
ところが$\int^1_0\sqrt2(1-x)dx=\sqrt2-\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt2}{2}$
は、本来の△ABCの面積である1/2・1・1＝1/2と合致しない。なぜか。

特別問題B～雑学～

次の設問に答えなさい。

(1) 中国の猿回しが猿にトチの実を与えた故事に由来する、目先の違いにとらわれて結果が同じであることに気付かないという意味の四字熟語は何でしょう？
(2) 手札の合計の下1桁が9に近い方が勝ちとなる、イタリア語で「0」や「破産」という意味があるトランプゲームは何でしょう？
(3) 日本語の敬語を5種類に分けたとき、お米の「お」やご飯の「ご」のように言葉遣いを上品にするものを何というでしょう？
(4) 山口県のJR厚狭駅の駅前に銅像が立っている、長い眠りから目覚めて村を旱魃から救った昔話の主人公は誰でしょう？
(5) 華氏温度で表すとほぼ0℃になる、冷凍食品の品質を維持するための上限とされる温度は摂氏何℃でしょう？

特別問題C～数学～

iを虚数単位とするとき、以下の問いに答えよ。

(1) n＝2,3,4,5のとき(2＋i)ⁿを求めよ。また、それらの虚部の整数を10で割った余りを求めよ。
(2) nを正の整数とするとき(2＋i)ⁿは虚数であることを示せ。　[神戸大]

3564時間目模範解答

レベルⅠ

Ⅰ　歯向きが良い・・・はむ(きが)よ(い)
意味：お世辞が良い。

Ⅱ　耐任・・・たいにん
意味：任務に耐える。仕事をたえしのぶ。

Ⅲ　額額・・・がくがく
意味：武勇のあるさま。

Ⅳ　競陰・・・きょういん
意味：早く過ぎ去る月日。また、月日があわただしく経過すること。

レベルⅡ

Ⅰ　重茵・・・じゅういん
意味：重ねしきもの。かさねぶとん。

Ⅱ　避礙・・・ひがい
意味：障碍をとりのける。

Ⅲ　遺轍・・・いてつ
意味：残っているわだち。古の失敗の後をいう。

Ⅳ　陶陶兀兀・・・とうとうこつこつ
意味：酔うさま。

レベルⅢ

Ⅰ　飲醼贈遺・・・いんえんぞうい
意味：人を接待して振る舞ったり、物を贈ったりすること。

Ⅱ　痞鬲・・・ひかく
意味：ふさがり胸につかえること。胸のつかえ。

Ⅲ　稽淹・・・けいえん
意味：とどまること。

Ⅳ　花鞲扇・・・かこうせん
意味：花時に吹く風。

特別問題A～数学～

BCの中点をMとする。BMは斜線を1とする直角二等辺三角形であるからBM＝√2/2であり、このときBMと平行な線をCからABの延長上まで引いて交わる点をNとする。すなわち0≦x≦1とはならない。
CN＝√2/2、またCNと赤線の交点をPとする。
求める積分は実際$\int^{\frac{\sqrt2}{2}}_0APdx$となるから、AP＝√2(1－√2x)である。よって面積は
$\int^{\frac{\sqrt2}{2}}_0APdx=\int^{\frac{\sqrt2}{2}}_0\sqrt2(1-\sqrt2x)dx$

$=[\sqrt2x-x^2]^{\frac{\sqrt2}{2}}_0=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$となり、本来の△ABCの面積と一致する。

※もし赤線がBCに垂直であれば$\int^1_0(1-x)dx$となり1/2となる。但し今回は赤線に垂直な部分は存在しない。この場合「面積を求めるには適さない」ので垂直な部分を作らなければならない。

特別問題B～雑学～

(1) 朝三暮四
(2) バカラ
(3) 美化語
(4) 三年寝太郎
(5) －18℃

特別問題C～数学～

(1) (2＋i)²＝3＋4i、(2＋i)³＝(3＋4i)(2＋i)＝2＋11i、(2＋i)⁴＝(2＋11i)(2＋i)＝－7＋24i、(2＋i)⁵＝(－7＋24i)(2＋i)＝－38＋41i
これらの虚部の整数を10で割った余りは順に4,1,4,1である。
(2) すべての自然数nに対して、(2＋n)ⁿの虚部が0にならないことを示す。虚部を10で割った余りが0にならないことを示す。(1)より(2＋i)ⁿを実部を10で割った余りは2,3を繰り返し、虚部を10で割った余りは1,4を繰り返すと考えられるから、これを数学的帰納法によって示す。
n＝1,2のとき、(2＋i)¹＝2＋i、(2＋i)²＝3＋4iより確かに成立している。
n＝2k－1,2kのとき成立しているとする。すなわち、整数a,b,c,dを用いて(2＋i)^2k-1＝(10a＋2)＋(10b＋1)i、(2＋i)^2k＝(10c＋3)＋(10d＋4)iの形でかけていたとする。このとき、
(2＋i)^2k+1＝{(10a＋2)＋(10b＋1)i}(3＋4i)＝{3(10a＋2)－4(10b＋1}＋i{4(10a＋2)＋3(10b＋1)}＝{10(3a－4b)＋2}＋i{10(4a＋3b＋1)＋1}
これより、(2＋i)^2k+1の実部、虚部を10で割った余りはそれぞれ2,1である。また、
(2＋i)^2k+2＝{(10c＋3)＋(10d＋4)i}(3＋4i)＝{3(10c＋3)－4(10d＋4)}＋i{4(10c＋3)＋3(10d＋4)}＝{10(3c－4d－1)＋3}＋i{10(4c＋3d＋2)＋4}
これより(2＋i)^2k+2の実部、虚部を10で割った余りはそれぞれ3,4である。よって、n＝2k＋1,2k＋2でも成立する。
以上より、数学的帰納法より虚部を10で割った余りは1,4を繰り返すから、(2＋i)ⁿの虚部が0になることはなく、常に虚数である。

※一般的にa＝b＝1でない互いに素な整数a,bを用いてz＝a＋biにしたとき、zⁿは任意のnに対して実数にならないことが知られている。

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