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3562時間目 ～諺・四字熟語～
次の漢字の読みを記せ。
ことわざ
Ⅰ 気牛を食らう
Ⅱ 体に称えて衣を裁す
Ⅲ 抜け鞘を持つ
Ⅳ 庄屋の一番息子
Ⅴ 泣くために玉葱を探す
四字熟語
Ⅰ 文過飾非
Ⅱ 氷甌雪椀
Ⅲ 活火激発
Ⅳ 嘉辰令月
Ⅴ 臭肉来蠅
特別問題A～数学～
2n2＋1,3n2＋1,6n2＋1がどれも平方数であるような正整数nは存在しないことを示せ。
特別問題B～英語～
次の英文を日本語に訳せ。
(1) We had to accustom ourselves to rising with the dawn,
(2) It is difficult to say at what point a barbarian becomes a civilized man,
(3) The scientist cares little for the opinions of the world in his endless grouping after truth.
特別問題C～数学～
座標空間において、2点A(1,0,－1),B(1,2,1)を通る直線lをz軸まわりに1回転してできる曲面をSとする。また、点(0,1,1)を通り、x軸を含む平面をαとする。さらに、平面αと曲面Sが交わってできる曲線をCとする。このとき、以下の問いに答えよ。
(1) lとxy平面の交点を求めよ。
(2) Sおよび2つの平面z＝1、z＝－1で囲まれた部分の体積を求めよ。
(3) C上の各点を通り、z軸に平行な直線とxy平面の交点の座標を(u,v,0)とする。vをuの式で表せ。 [福井大]
3562時間目模範解答
ことわざ
Ⅰ 気牛を食らう・・・きうし(を)く(らう)
意味：若々しくて人をしのぐ盛んな気力を持っていること。
Ⅱ 体に称えて衣を裁す・・・からだ(に)かな(えて)い(を)さい(す)
意味：相手に応じて適合させてゆくこと。
Ⅲ 抜け鞘を持つ・・・ぬ(け)さや(を)も(つ)
意味：争いごとの助勢をしたり、喧嘩の後押しをしたりすること。
Ⅳ 庄屋の一番息子・・・しょうや(の)いちばんむすこ
意味：甘やかされて愚鈍な者をいう。
Ⅴ 泣くために玉葱を探す・・・な(くために)たまねぎ(を)さが(す)
意味：過度に心配することのたとえ。
四字熟語
Ⅰ 文過飾非・・・ぶんかしょくひ
意味：過ちや誤りを取り繕うこと。自分が犯した過ちをもっともらしく言いつくろうこと。
Ⅱ 氷甌雪椀・・・ひょうおうせつわん
意味：清く風雅な文具のこと。また、詩や文を書き写すこと。
Ⅲ 活火激発・・・かっかげきはつ
意味：すさまじい炎が激しく起こること。
Ⅳ 嘉辰令月・・・かしんれいげつ
意味：めでたい月日のこと。よい日とよい月のこと。
Ⅴ 臭肉来蠅・・・しゅうにくらいよう
意味：何か心にやましいことがあると、悪者としてみなされるというたとえ。
特別問題A～数学～
背理法を用いる。どれも平方数であるとして、正整数p,q,rにより、2n2＋1＝p、3n2＋1＝q、6n2＋1＝rで表す。このとき
6n2(6n2＋1)(6n2＋2)(6n2＋3)＝36n2(6n2＋1)(3n2＋1)(2n2＋1)＝(6npqr)2となり、最右辺は平方数である
一方、最左辺は6n2＝NとしてN(N＋1)(N＋2)(N＋3)＝(N2＋3N)(N2＋3N＋2)＝(N2＋3N＋1)2－1より
(N2＋3N)2＜N(N＋1)(N＋2)(N＋3)＜(N2＋3N＋1)2となるが、N(N＋1)(N＋2)(N＋3)は隣接する平方数の間にあるので平方数ではない。よって矛盾が導かれた。
特別問題B～英語～
(1) 我々は夜明けと共に起きる習慣をつけねばならない。
(2) 野蛮人が文明人に変わるのはどの点においてであるかを言うことは難しい。
(3) 科学者は心理を模索する果てしない過程で、他人の意見をあんまり顧慮しない。
特別問題C～数学～
(1) 直線AB上に点Pをパラメーターtを用いてベクトルで表すと
OP＝OA＋tAB＝(1,0,1)＋t(1－1,2－0,1－(－1))＝(1,2t,2t－1)
z＝0のときt＝1/2であるから、lとxy平面の交点の座標は(1,1,0)
(2) lと平面z＝sの交点をQとすると、2t－1＝sよりt＝(s＋1)/2でQ(1,s＋1,s)となる。
また、Qからz軸に垂線を引き、その交点をHとおくと、H(0,0,s)である。Sおよび2つの平面z＝1,z＝－1で囲まれた部分を、平面z＝sで切ったときの断面は円板になり、その断面積はπQH2＝π{1＋(s＋1)2}となる。よって、求める体積は
$\int^1_{-1}\pi QH^2ds=\pi\int^1_{-1}\{1+(s+1)^2\}ds$
$=\pi[s+\frac{(s+1)^3}{3}]^1_{-1}=\pi(2+\frac{8}{3})$
$=\color{red}{\cfrac{14}{3}\pi}$
(3) Sを平面z＝sで切ったときの断面は、Hを中心とする半径QHの円になるから、Sの方程式は、x2＋y2＝1＋(z＋1)2・・・① 点(0,1,1)を通り、x軸を含む平面αの方程式はy＝z・・・②
よってCの方程式は①かつ②、すなわちx2＋y2＝1＋(y＋1)2かつy＝zよりx2＝2y＋2かつz＝yである。よって、C上の各点を通り、z軸に平行な直線とxy平行な直線とxy平面の交点はx2＝2y＋2かつz＝0を満たす。
ゆえに、u2＝2v＋2より、v＝u2/2－1
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