漢字戦場　～ブレイズム漢字講座ブログ～

3495時間目　～総合問題～

次の漢字の読みを記せ。

レベルⅠ

Ⅰ　斬罪

Ⅱ　撤去

Ⅲ　地行仙

Ⅳ　耳を擦る

レベルⅡ

Ⅰ　麦藁伊佐木

Ⅱ　冢弼

Ⅲ　告賽

Ⅳ　吼号

レベルⅢ

Ⅰ　譎詭不経

Ⅱ　汁協

Ⅲ　怏悵

Ⅳ　溶瀛

特別問題A～数学～

全ての実数xに対して、不等式a(x²＋1)＞4x－3が成り立つような定数aの値の範囲を求めよ。

特別問題B～英語～

次の(　)に入るものとして最も適当なものを1つ選べ。

(1) He (　) libes in the house where he has born.　[独協大]
①　already　②　yet　③　always　④　still
(2) According to Darwin, man (　) from monkey-like animals.　[南山大]
①　evolved　②　revolved　③　involved　④　revolted
(3) I hope you'll take notice (　) what I'm going to tell you.　[名古屋外大]
①　for　②　about　③　of　④　to

特別問題C～数学～

(1) k＞0に対し、広義積分$I(k)=\int^\infty_0\frac{\sin x}{x}e^{-kx}dx$は収束することを示せ。
(2) 等式$\frac{1}{x}=\int^\infty_0e^{-xy}dy$ (x＞0)を用いてI(k)を二重積分で表し

$\displaystyle I(k)=\int^\infty_0\frac{1}{1+(k+y)^2}dy$

が成り立つことを示せ。
(3) 極限値

$\displaystyle \lim_{k\to+0}\int^\infty_0\frac{\sin x}{x}e^{-kx}dx$

を求めよ。　[早稲田大学院理工]

3495時間目模範解答

レベルⅠ

Ⅰ　斬罪・・・ざんざい
意味：首切りの刑。打ち首。

Ⅱ　撤去・・・てっきょ
意味：建造物や施設などを取り去ること。

Ⅲ　地行仙・・・ちこうせん
意味：地上を歩く仙人。人の長寿を祝っていう語。

Ⅳ　耳を擦る・・・みみ(を)こす(る)
意味：他にかこつけて悪口をいう。あてこすりをいう。

レベルⅡ

Ⅰ　麦藁伊佐木・・・むぎわらいさぎ
意味：魚のイサキの幼魚をいう方言。

Ⅱ　冢弼・・・ちょうひつ
意味：三公の最上位で天子の師。太師。

Ⅲ　告賽・・・こくさい
意味：神に告げ祭ること。

Ⅳ　吼号・・・こうごう
意味：声をあげて叫ぶこと。

レベルⅢ

Ⅰ　譎詭不経・・・けっきふけい
意味：実体の伴わないことばかり言って、人を欺き道理に背くこと。また、偽って人を欺く常識はずれな言動。

Ⅱ　汁協・・・きょうきょう
意味：調和する。また、仲むつまじい。

Ⅲ　怏悵・・・おうちょう
意味：申し訳なく思う。

Ⅳ　溶瀛・・・ようえい
意味：水の広大なさま。

特別問題A～数学～

不等式を変形すると、ax²＋4x＋a＋3＞0・・・①、a＝0のとき、①は－4x＋3となり、x＝1のとき成り立たない。
a≠0のとき、2次方程式ax²－4x＋a＋3＝0の判別式をDとすると、①が常に成り立つための条件はa＞0かつD＜0
ここで、D/4＝(－2)²－a(a＋3)＝－a²－3a＋4、D＜0から－a²－3a＋4＜0、a²＋3a－4＞0、(a＋4)(a－1)＞0
ゆえにa＜－4、a＞1
a＞0であるから求める範囲はa＞1

特別問題B～英語～

(1) ④
訳：彼は今でも生まれた家に住んでいる。
(2) ①
訳：ダーウィンによると、人類は猿に似た動物から進化したそうです。
(3) ③
訳：私が君に言おうとしていることに、君が注意を払ってくれることを望みます。

特別問題C～数学～

(1) まず$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$だから、被積分関数はx＝0においても連続である。
また、|sinx|≦|x| (x∈R)だから、k＞0のとき$\int^\infty_0|\frac{\sin x}{x}e^{-kx}|dx\leq\int^\infty_0e^{-kx}dx=\cfrac{1}{k}$
よって、広義積分I(k)は収束する。
(2) まず、|sinx|≦|x|より
$\int^\infty_0\int^\infty_0|e^{-xy}e^{-kx}\sin x|dxdy\leq\int^\infty_0\int^\infty_0xe^{-xy}e^{-kx}dx$

$=\int^\infty_0\left(\int^\infty_0xe^{-xy}dy\right)e^{-kx}dx$

$=\int^\infty_0e^{-kt}dx=\frac{1}{k}$
である。よってフビニの定理より累次積分の順序交換ができ
$I(k)=\int^\infty_0\left(\int^\infty_0e^{-xy}dy\right)e^{-kx}\sin xdx$

$=\int^\infty_0\left(\int^\infty_0e^{-(k+y)x}\sin xdx\right)dy$となる。
また、$\displaystyle I(k)=\int^\infty_0\frac{1}{1+(k+y)^2}dy$を得る。
(3) (2)より$I(k)=\int^\infty_0\cfrac{1}{1+(k+y)^2}dy=\int^\infty_k \frac{1}{1+t^3}dt$

$=\cfrac{\pi}{2}-\arctan k$
よって$\displaystyle \lim_{k\to+0}\int^\infty_0\frac{\sin x}{x}e^{-kx}dx=\lim_{k\to+0}I(k)=\color{red}{\frac{\pi}{2}}$