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3495時間目 ~総合問題~

次の漢字の読みを記せ。

レベルⅠ

Ⅰ 斬罪

Ⅱ 撤去

Ⅲ 地行仙

Ⅳ 耳を擦る

レベルⅡ

Ⅰ 麦藁伊佐木

Ⅱ 冢弼

Ⅲ 告賽

Ⅳ 吼号

レベルⅢ

Ⅰ 譎詭不経

Ⅱ 汁協

Ⅲ 怏悵

Ⅳ 溶瀛

特別問題A~数学~

全ての実数xに対して、不等式a(x2+1)>4x-3が成り立つような定数aの値の範囲を求めよ。

特別問題B~英語~

次の( )に入るものとして最も適当なものを1つ選べ。

(1) He ( ) libes in the house where he has born. [独協大]
① already ② yet ③ always ④ still
(2) According to Darwin, man ( ) from monkey-like animals. [南山大]
① evolved ② revolved ③ involved ④ revolted
(3) I hope you'll take notice ( ) what I'm going to tell you. [名古屋外大]
① for ② about ③ of ④ to

特別問題C~数学~

(1) k>0に対し、広義積分$I(k)=\int^\infty_0\frac{\sin x}{x}e^{-kx}dx$は収束することを示せ。
(2) 等式$\frac{1}{x}=\int^\infty_0e^{-xy}dy$ (x>0)を用いてI(k)を二重積分で表し

$\displaystyle I(k)=\int^\infty_0\frac{1}{1+(k+y)^2}dy$

が成り立つことを示せ。
(3) 極限値

$\displaystyle \lim_{k\to+0}\int^\infty_0\frac{\sin x}{x}e^{-kx}dx$

を求めよ。 
[早稲田大学院理工]


3495時間目模範解答

レベルⅠ

Ⅰ 斬罪・・・ざんざい
意味:首切りの刑。打ち首。

Ⅱ 撤去・・・てっきょ
意味:建造物や施設などを取り去ること。

Ⅲ 地行仙・・・ちこうせん
意味:地上を歩く仙人。人の長寿を祝っていう語。

Ⅳ 耳を擦る・・・みみ(を)こす(る)
意味:他にかこつけて悪口をいう。あてこすりをいう。

レベルⅡ

Ⅰ 麦藁伊佐木・・・むぎわらいさぎ
意味:魚のイサキの幼魚をいう方言。

Ⅱ 冢弼・・・ちょうひつ
意味:三公の最上位で天子の師。太師。

Ⅲ 告賽・・・こくさい
意味:神に告げ祭ること。

Ⅳ 吼号・・・こうごう
意味:声をあげて叫ぶこと。

レベルⅢ

Ⅰ 譎詭不経・・・けっきふけい
意味:実体の伴わないことばかり言って、人を欺き道理に背くこと。また、偽って人を欺く常識はずれな言動。

Ⅱ 汁協・・・きょうきょう
意味:調和する。また、仲むつまじい。

Ⅲ 怏悵・・・おうちょう
意味:申し訳なく思う。

Ⅳ 溶瀛・・・ようえい
意味:水の広大なさま。

特別問題A~数学~

不等式を変形すると、ax2+4x+a+3>0・・・①、a=0のとき、①は-4x+3となり、x=1のとき成り立たない。
a≠0のとき、2次方程式ax2-4x+a+3=0の判別式をDとすると、①が常に成り立つための条件はa>0かつD<0
ここで、D/4=(-2)2-a(a+3)=-a2-3a+4、D<0から-a2-3a+4<0、a2+3a-4>0、(a+4)(a-1)>0
ゆえにa<-4、a>1
a>0であるから求める範囲は
a>1

特別問題B~英語~

(1) ④
訳:彼は今でも生まれた家に住んでいる。
(2) ①
訳:ダーウィンによると、人類は猿に似た動物から進化したそうです。
(3) ③
訳:私が君に言おうとしていることに、君が注意を払ってくれることを望みます。

特別問題C~数学~

(1) まず$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$だから、被積分関数はx=0においても連続である。
また、|sinx|≦|x| (x∈R)だから、k>0のとき$\int^\infty_0|\frac{\sin x}{x}e^{-kx}|dx\leq\int^\infty_0e^{-kx}dx=\cfrac{1}{k}$
よって、広義積分I(k)は収束する。
(2) まず、|sinx|≦|x|より
$\int^\infty_0\int^\infty_0|e^{-xy}e^{-kx}\sin x|dxdy\leq\int^\infty_0\int^\infty_0xe^{-xy}e^{-kx}dx$

$=\int^\infty_0\left(\int^\infty_0xe^{-xy}dy\right)e^{-kx}dx$

$=\int^\infty_0e^{-kt}dx=\frac{1}{k}$
である。よってフビニの定理より累次積分の順序交換ができ
$I(k)=\int^\infty_0\left(\int^\infty_0e^{-xy}dy\right)e^{-kx}\sin xdx$

$=\int^\infty_0\left(\int^\infty_0e^{-(k+y)x}\sin xdx\right)dy$となる。
また、$\displaystyle I(k)=\int^\infty_0\frac{1}{1+(k+y)^2}dy$を得る。
(3) (2)より$I(k)=\int^\infty_0\cfrac{1}{1+(k+y)^2}dy=\int^\infty_k \frac{1}{1+t^3}dt$

$=\cfrac{\pi}{2}-\arctan k$
よって$\displaystyle \lim_{k\to+0}\int^\infty_0\frac{\sin x}{x}e^{-kx}dx=\lim_{k\to+0}I(k)=\color{red}{\frac{\pi}{2}}$

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