3439時間目 ~総合問題~
次の漢字の読みを記せ。
レベルⅠ
Ⅰ 孫は笛吹く
Ⅱ 梅肉
Ⅲ 按論
Ⅳ 括撮
レベルⅡ
Ⅰ 秦楚の道
Ⅱ 振鷺庭に充つ
Ⅲ 恩撫
Ⅳ 恨惋
レベルⅢ
Ⅰ 寵命優渥
Ⅱ 琴觴
Ⅲ 回邅
Ⅳ 園壖地
特別問題A~数学~
正の実数a,b,cに対して、不等式 1/a+1/b+1/c≧9/(a+b+c)を証明せよ。また、等号が成り立つための条件を求めよ。 [学習院大]
特別問題B~数学~
0でない複素数αは|α-i|=1を満たすとする。また、αの偏角は0<θ<π/2を満たすものとする。以下の問いに答えよ。
(1) |α|をθを用いて表せ。
(2) β=-α+2iとおく。βの偏角argβをθを用いて表せ。但し、0≦argβ<2πとする。
(3) βは(2)で与えられたものとする。複素数平面において実軸上に点P(1/√3)をとる。3点A(α),B(β),P(1/√3)が一直線上にあるときのθの値を求めよ。 [岡山大]
特別問題C~生物~
とある人が次のように黒鳩にツイートした。
「原発の処理水に対して科学を信じろ、という人たちは、科学が正しいなら、DNA検査をして自分が本当はなに人か調べて貰えばいい。韓国朝鮮かも。みんなで一度、その科学を信じて自分がなに人なのか調べよう。そしてそれを名札で貼って街を歩こう」(ソース元)
このとき「DNAによって血液型も変化する」を補題とする。また、「DNAによってなに人かがわかる」を命題Aとする。
(1) 血液型にはABO式、Rh式のほかに7つの分け方が存在する。その分け方を5つほど述べ、その特徴を簡潔ににかけ。
(2) 命題Aは成立しないことを示せ。
3439時間目模範解答
レベルⅠ
Ⅰ 孫は笛吹く・・・そん(は)ふえふ(く)
意味:芸事は血統をひくたとえ。
Ⅱ 梅肉・・・ばいにく
意味:梅干しの種子を取り除いた果肉。
Ⅲ 按論・・・あんろん
意味:調べて論じる。
Ⅳ 括撮・・・かっさつ
意味:たばねあつめる。まとめる。
レベルⅡ
Ⅰ 秦楚の道・・・しんそ(の)みち
意味:遠い道のりに例える。
Ⅱ 振鷺庭に充つ・・・しんろてい(に)み(つ)
意味:清廉潔白の賢士が朝廷に充満することのたとえ。
Ⅲ 恩撫・・・おんぶ
意味:めぐみ安んじるたとえ
Ⅳ 恨惋・・・こんわん
意味:うらみかなしむさま。
レベルⅢ
Ⅰ 寵命優渥・・・ちょうめいゆうあく
意味:寵愛を受けることがきわめて厚いこと。
Ⅱ 琴觴・・・きんしょう
意味:琴を弾き酒を飲むことを言う。
Ⅲ 回邅・・・かいてん
意味:踵の向きを変える。引き返すことを言う。
Ⅳ 園壖地・・・えんぜんち
意味:園の神道(墓穴に入る道)の地。
特別問題A~数学~
a,b,cは正の実数だから、分母を払って(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)-9≧0が成り立つことを示す。
(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)-9=1+b/a+c/a+a/b+1+c/b+a/c+b/c+1-9=b/a-2+a/b+c/b-2+b/c+a/c-2+c/a=(√(b/a)-√(a/b))2+(√(c/b)-√(b/c))2+(√(a/c)-√(c/a))2≧0
∴1/a+1/b+1/c≧9/(a+b+c) 等号は√(b/a)-√(a/b)=√(c/b)-√(b/c)=√(a/c)-√(c/a)、すなわちa=b=cのとき成り立つ。
特別問題B~数学~
(1) α=r(cosθ+isinθ) (r>0)とおく。α-i=rcosθ+(rsinθ-1)i、|α-i|=1より|α-i|2=1
(rcosθ)2+(rsinθ-1)2=1、r2cos2θ+r2sin2θ-2rsinθ+1=1、r2-2rsinθ=0、r=2sinθ
よって、α=2sinθ(cosθ+isinθ)となるので |α|=2sinθ
(2) (1)よりβ=-α+2i=-2sinθ(cosθ+isinθ)+2i=-2sinθcosθ-2isin2θ+2i=-2sinθcosθ+2i(1-sin2θ)=2cosθ(-sinθ+icosθ)=2cosθ{cos(θ+π/2)+isin(θ+π/2)}
2cosθ>0かつ0<θ+π/2<2πであるから、argβ=θ+π/2
(3) sin2θ=s、cos2θ=cとおく。xy座標で考える。A(s,1-c),B(-s,1+c),P(1/√3,0)となる。
直線ABの方程式はy={1-c-(1+c)}/{s-(-s)}・(x-s)+(1+c)、y=-c/s・(x+s)+(1+c)、y=-cx/s+1
Pがこの上にあるとき、P(1/√3,0)を代入して、0=-c/s√3+1となる。
s/c=1/√3でtan2θ=1/√3となる。2θ=π/6であるからθ=π/12
特別問題C~生物~
(1) MNSs式:Ms/NSと、遺伝子によって定まる。 ・・・①
Lutheran式:日本人であればLu(a-b+)であることが成り立つ。 ・・・②
Kell式:日本人であれば(K-k+)が成り立つ。 ・・・③
Duffy式:日本人であればFy(a-b-)は存在しない。 ・・・④
Kidd式:Jk(a+b+),Jk(a-b+)などで表記する。
P式:(P1/P1),(P1/P2),(P2/P2)で表記する。
Xg式:女性は3通り、男性は2通りである。
(2) ①より補題は証明される。日本人であるとき、②,③,④はすべて日本特有のものとなる。
ここで絶望の定理より、すべての日本人は必ず日本人と結婚することは成り立たない。すなわち、遺伝情報の一部に海外の情報が交わることになる。
すると鳩ノ巣原理より、②,③,④のどれかの情報は満たすことはない。これは、命題Aに矛盾する。
※絶望の定理は3300時間目を参照。
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