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3437時間目 ~総合問題~

次の漢字の読みを記せ。

レベルⅠ

Ⅰ 旧悪を念わず

Ⅱ 屈致

Ⅲ 原遣

Ⅳ 傘寿

レベルⅡ

Ⅰ 武陵桃源

Ⅱ 梯団

Ⅲ 徹宵

Ⅳ 心喉

レベルⅢ

Ⅰ 咸一徳有り

Ⅱ 赭衣路に塞がる

Ⅲ 孱顔

Ⅳ 咿軋

特別問題A~数学~

放物線y=x2-1の表す曲線をCとする。

(1) C上の点(t,t2-1)における法線の方程式を求めよ。
(2) 放物線y=x2上に点Pをとる。点Pを通るCの法線がちょうど2本存在する点Pの座標をすべて求めよ。

特別問題B~数学~

Cを3次曲線y=x3+3x2とする。C上の点P(p,q)に対し「C上の点Qが存在して、Cの点Pにおける接線はCのQにおける接線と直交する」となるようなPの範囲を求めよ。 [京都大]

特別問題C~物理・化学~

次のことを示すとき、具体的に行う実験は何か。

(1) 電磁波が粒子の性質を持つことを示すとき
(2) 電磁波が波の性質を持つことを示すとき
(3) 電子が粒子の性質を持つことを示すとき
(4) 電子が波の性質を持つことを示すとき


3437時間目模範解答

レベルⅠ

Ⅰ 旧悪を念わず・・・きゅうあく(を)おも(わず)
意味:過去の悪事や過失を許す寛容な態度で人に接すること。

Ⅱ 屈致・・・くっち
意味:押さえつけて来させる。命令して呼びつけること。

Ⅲ 原遣・・・げんけん
意味:罪人などを許して、釈放すること。

Ⅳ 傘寿・・・さんじゅ
意味:八十歳。また、八十歳の祝い。

レベルⅡ

Ⅰ 武陵桃源・・・ぶりょうとうげん
意味:俗世間からかけ離れた平和な別天地。理想郷のこと。

Ⅱ 梯団・・・ていだん
意味:移動する部隊をいくつかに分けたときの一まとまり。

Ⅲ 徹宵・・・てっしょう
意味:夜通し起きている。夜明かしをする。

Ⅳ 心喉・・・しんこう
意味:胸と喉。転じて、敵を防ぐための要害の地のたとえ。

レベルⅢ

Ⅰ 咸一徳有り・・・みないっとくあ(り)
意味:君も臣も皆、純粋で混じりけのない徳を持っている。

Ⅱ 赭衣路に塞がる・・・しゃいみち(に)ひろ(がる)
意味:罪人のおおいことを言う。

Ⅲ 孱顔・・・さんがん
意味
①:ひとしくないさま。
②:山の高く険しい形容。

Ⅳ 咿軋・・・いあつ
意味:車などの軋る音。

特別問題A~数学~

C:y=x2-1
(1) y'=2xだから、A(t,t2-1)における接線の傾きは、t≠0のとき、-1/2tであり、点Aにおける接線の方程式は
y-(t2-1)=-1/2t・(x-t) ∴y=-x/2t+t2-1/2
t=0のとき、A(0,-1)であり、Aにおける法線はx軸と垂直だからx=0
以上より、点Aにおける法線の方程式は
$\color{red}{\begin{equation}
\left \{
\begin{array}{l}
y=-\frac{1}{2t}x+t^2-\frac{1}{2} (t\neq0) \\
x=0 (t=0)
\end{array}
\right.
\end{equation}}$
(2) 点Pの座標を(p,p^2)とおく。
(i) p=0のとき、点P(0,0)を通るCの法線の一つはx=0である。また、y=-x/2t+t2-1/2で表される法線が点P(0,0)を通るとき、t2-1/2=0 ∴t=±1/√2であるから、この方程式で表される法線は2本存在し、点P(0,0)を通るCの法線は3本ある。
(ii) p≠0のとき、点Pを通るCの法線はy=-p/2t+t2-1/2で表される。この法線が点(p,p2)を通るからp2=-p/2t+t2-1/2、2t3-(2p2+1)t-p=0、(t+p)(2t-2pt-1)=0 ∴t=-p,(p±√(p2+2)/2・・・①
点Pを通るCの法線が2本存在するとき、点Aのx座標tは2つ存在するから、①は異なる2つの実数を表す。p2+2>0より(p±√(p2+2)/2は異なる2つの実数だから、-pがこれらのうちの一方と等しい。
したがって、-p=(p±√(p2+2))/3、-3p=±√(p2+2)、9p2=p2+2、p2=1/4 ∴p=±1/2
よって、
P(±1/2,1/4)

特別問題B~数学~

C:y=f(x)=x3+3x2・・・①、f'(x)=3x2+6x ①の点P(p,qにおける接線とQ(s,t)における接線は直交するので、f'(p)・f'(s)=-1
∴(3p2+6p)(3s2+6s)=-1、9(p2+p)s2+18(p2+p)s+1=0・・・②
求める条件は、このような実数sが存在することだから
(i) p2+2p=0のときは②は成り立たない。
(ii) p2+2p≠0のとき、②の判別式をDとすればD/4=81(p2+2p)2-9(p2+2p)≧0
∴(p2+2p){9(p2+2p)-1}≧0、p(p+2)(9p2+18p-1)≧0 ここで、9p2+18p-1=0とすると、p=(-3±√10)/3
したがって求めるものは、
p≦(-3-√10)/3または-2<p<0または(-3+√10)/3≦p

特別問題C~物理・化学~

(1) 粒子の性質を持つ=エネルギーを持つこと。から 光電効果の実験
(2) 回折パターンを示せばよいので、X線回折
(3) 質量や電荷を示すため、陰極線の実験
(4) 回折パターンを示すための、電子回折

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