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3426時間目 ～諺・四字熟語～
次の漢字の読みを記せ。
ことわざ
Ⅰ 瓶水を移す
Ⅱ 種籾までも食う
Ⅲ 搔い蹲うても子三貫
Ⅳ 飢えた熊は踊らず
Ⅴ 休まず遅れず働かずそれに捕まらず
四字熟語
Ⅰ 才徳兼備
Ⅱ 怨望隠伏
Ⅲ 淵明把菊
Ⅳ 不耕不織
Ⅴ 無何有郷
特別問題A～数学～
(1) すべての実数x,yに対してx2＋y2＋2axy＋2bx＋1≧0が成り立つとする。このとき、実数a,bが満たすべき条件を求め、その条件を満たす点(a,b)の領域を座標平面上に図示せよ。
(2) (1)の領域を点(a,b)が動くとき、a2＋bの最大値と最小値を求めよ。 [岡山大]
特別問題B～化学～
完全気体であれば、ViからVfまで等温膨張してもその内部エネルギーは変化しない。このとき、エンタルピーは変化するか。
特別問題C～数学～
8n＋nが2n＋nで割り切れるような正の整数nをすべて求めよ。
3426時間目模範解答
ことわざ
Ⅰ 瓶水を移す・・・ひょうすい(を)うつ(す)
意味：水を仏法の奥義に例えて、師から弟子に法を伝授すること。
Ⅱ 種籾までも食う・・・たねもみ(までも)く(う)
意味：農民の窮乏しているさまをいう。
Ⅲ 搔い蹲うても子三貫・・・か(い)つくば(うても)こさんがん
意味：小さいもの、少ないものでもそれなりの価値がある意。
Ⅳ 飢えた熊は踊らず・・・う(えた)くま(は)おど(らず)
意味：空腹では何もできないこと。
Ⅴ 休まず遅れず働かずそれに捕まらず・・・やす(まず)おく(れず)はたら(かずそれに)つかま(らず)
意味：官僚の仕事ぶりを揶揄した言い回し。
四字熟語
Ⅰ 才徳兼備・・・さいとくけんび
意味：すぐれた才知と仁徳を兼ね備えていること。
Ⅱ 怨望隠伏・・・えんぼういんぷく
意味：不平不満が表面化しないこと。恨みつらみが表に出ないこと。
Ⅲ 淵明把菊・・・えんめいはきく
意味：風流をこよなく愛する人のたとえ。
Ⅳ 不耕不織・・・ふこうふしょく
意味：生産的な仕事をしないこと。また、そのような身分をいう。
※例を言えば武士など。ニートを指す言葉ではない。
Ⅴ 無何有郷・・・むかゆう(の)きょう
意味：理想郷のこと。何物も存在しない広々とした世界のこと。
特別問題A～数学～
(1) f(x)＝x2＋y2＋2axy＋2bx＋1＝x2＋(2ay＋2b)x＋y2＋1とおく。すべての実数xでf(x)≧0が成り立つ条件はx2の係数が正であるから、2次方程式x2＋2(ay＋b)x＋y2＋1＝0の判別式が0以下。よって
(判別式)＝(ay＋b)2－(y2＋1)≦0、(a2－1)y2＋2aby＋b2－1≦0 これがすべての実数yで成り立つにはa2－1＜0で2次方程式(a2－1)y2＋2aby＋b2－1＝0の判別式が0以下。よって
(判別式)＝a2b2－(a2－1)(b2－1)≦0 ∴a2＋b2≦1
a2－1＝0のときはb＝0でこれは上式を満たす。したがって、求める条件はa2＋b2≦1で領域は図、但し境界含む。
(2) (1)よりa2≦1－b2だから、a2＋b≦b＋1－b2＝－(b－1/2)2＋5/4 (－1≦b≦1)
よって
・最大値はb＝1/2のとき5/4
・最小値はa＝0,b＝－1のとき－1
特別問題B～化学～
エンタルピーの定義：H＝U＋pVを完全気体の状態方程式を用いて書き換えると、H＝U＋nRT
したがって、完全気体のエンタルピー変化は ΔH＝ΔU＋Δ(nRT)である。等温膨張では物質量nや温度Tは変化しないのでΔ(nRT)＝0
また、題意よりΔU＝0であるからΔH＝0、すなわち、エンタルピーは変化しない。
特別問題C～数学～
8n＋n＝(2n)3＋n＝(2n＋n)((2n)3－n・2n＋n2)－(n3－n) 正の整数において(2n)3－n・2n＋n2は整数になるので、8n＋nが2n＋nで割り切れることは、n3－nが2n＋nで割り切れることと同値である。
n＝1のとき、n3－n＝0より、この条件は満たされる。
n≧2のとき、n2－n＞0であるから、n3－n≧2n＋nでなければならず、特にn3＞2nであることが必要である。
f(n)＝n3/2nとおくと、n≧4のとき f(n＋1)/f(n)＝1/2・((n＋1)/n)3＝1/2・(1＋1/n)3≦1/2・(1＋1/4)3＝125/128＜1が成り立つのでf(n)は単調減少である。f(10)＝1000/1024＜1なので、n＞10ならばf(n)＜1、つまりn3＜2nとなることが分かる。以上のことから、2≦n＜10なるnに対してn3－nが2n＋nで割り切れるかを調べればよい。
n＝2,3,4,5,6,7,8,9に対して(n3－n,2n＋n)＝(6,6),(24,11),(60,20),(120,37),(210,70),(336,135),(560,264),(720,523)となるので、このうちn3－nが2n＋nで割り切れるのはn＝2,4,6のときである。
以上より、求めるnはn＝1,2,4,6
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