3426時間目 ~諺・四字熟語~
次の漢字の読みを記せ。
ことわざ
Ⅰ 瓶水を移す
Ⅱ 種籾までも食う
Ⅲ 搔い蹲うても子三貫
Ⅳ 飢えた熊は踊らず
Ⅴ 休まず遅れず働かずそれに捕まらず
四字熟語
Ⅰ 才徳兼備
Ⅱ 怨望隠伏
Ⅲ 淵明把菊
Ⅳ 不耕不織
Ⅴ 無何有郷
特別問題A~数学~
(1) すべての実数x,yに対してx2+y2+2axy+2bx+1≧0が成り立つとする。このとき、実数a,bが満たすべき条件を求め、その条件を満たす点(a,b)の領域を座標平面上に図示せよ。
(2) (1)の領域を点(a,b)が動くとき、a2+bの最大値と最小値を求めよ。 [岡山大]
特別問題B~化学~
完全気体であれば、ViからVfまで等温膨張してもその内部エネルギーは変化しない。このとき、エンタルピーは変化するか。
特別問題C~数学~
8n+nが2n+nで割り切れるような正の整数nをすべて求めよ。
3426時間目模範解答
ことわざ
Ⅰ 瓶水を移す・・・ひょうすい(を)うつ(す)
意味:水を仏法の奥義に例えて、師から弟子に法を伝授すること。
Ⅱ 種籾までも食う・・・たねもみ(までも)く(う)
意味:農民の窮乏しているさまをいう。
Ⅲ 搔い蹲うても子三貫・・・か(い)つくば(うても)こさんがん
意味:小さいもの、少ないものでもそれなりの価値がある意。
Ⅳ 飢えた熊は踊らず・・・う(えた)くま(は)おど(らず)
意味:空腹では何もできないこと。
Ⅴ 休まず遅れず働かずそれに捕まらず・・・やす(まず)おく(れず)はたら(かずそれに)つかま(らず)
意味:官僚の仕事ぶりを揶揄した言い回し。
四字熟語
Ⅰ 才徳兼備・・・さいとくけんび
意味:すぐれた才知と仁徳を兼ね備えていること。
Ⅱ 怨望隠伏・・・えんぼういんぷく
意味:不平不満が表面化しないこと。恨みつらみが表に出ないこと。
Ⅲ 淵明把菊・・・えんめいはきく
意味:風流をこよなく愛する人のたとえ。
Ⅳ 不耕不織・・・ふこうふしょく
意味:生産的な仕事をしないこと。また、そのような身分をいう。
※例を言えば武士など。ニートを指す言葉ではない。
Ⅴ 無何有郷・・・むかゆう(の)きょう
意味:理想郷のこと。何物も存在しない広々とした世界のこと。
特別問題A~数学~
(1) f(x)=x2+y2+2axy+2bx+1=x2+(2ay+2b)x+y2+1とおく。すべての実数xでf(x)≧0が成り立つ条件はx2の係数が正であるから、2次方程式x2+2(ay+b)x+y2+1=0の判別式が0以下。よって
(判別式)=(ay+b)2-(y2+1)≦0、(a2-1)y2+2aby+b2-1≦0 これがすべての実数yで成り立つにはa2-1<0で2次方程式(a2-1)y2+2aby+b2-1=0の判別式が0以下。よって
(判別式)=a2b2-(a2-1)(b2-1)≦0 ∴a2+b2≦1
a2-1=0のときはb=0でこれは上式を満たす。したがって、求める条件はa2+b2≦1で領域は図、但し境界含む。
(2) (1)よりa2≦1-b2だから、a2+b≦b+1-b2=-(b-1/2)2+5/4 (-1≦b≦1)
よって
・最大値はb=1/2のとき5/4
・最小値はa=0,b=-1のとき-1
特別問題B~化学~
エンタルピーの定義:H=U+pVを完全気体の状態方程式を用いて書き換えると、H=U+nRT
したがって、完全気体のエンタルピー変化は ΔH=ΔU+Δ(nRT)である。等温膨張では物質量nや温度Tは変化しないのでΔ(nRT)=0
また、題意よりΔU=0であるからΔH=0、すなわち、エンタルピーは変化しない。
特別問題C~数学~
8n+n=(2n)3+n=(2n+n)((2n)3-n・2n+n2)-(n3-n) 正の整数において(2n)3-n・2n+n2は整数になるので、8n+nが2n+nで割り切れることは、n3-nが2n+nで割り切れることと同値である。
n=1のとき、n3-n=0より、この条件は満たされる。
n≧2のとき、n2-n>0であるから、n3-n≧2n+nでなければならず、特にn3>2nであることが必要である。
f(n)=n3/2nとおくと、n≧4のとき f(n+1)/f(n)=1/2・((n+1)/n)3=1/2・(1+1/n)3≦1/2・(1+1/4)3=125/128<1が成り立つのでf(n)は単調減少である。f(10)=1000/1024<1なので、n>10ならばf(n)<1、つまりn3<2nとなることが分かる。以上のことから、2≦n<10なるnに対してn3-nが2n+nで割り切れるかを調べればよい。
n=2,3,4,5,6,7,8,9に対して(n3-n,2n+n)=(6,6),(24,11),(60,20),(120,37),(210,70),(336,135),(560,264),(720,523)となるので、このうちn3-nが2n+nで割り切れるのはn=2,4,6のときである。
以上より、求めるnはn=1,2,4,6
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