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3337時間目 ～総合問題～
次の漢字の読みを記せ。
レベルⅠ
Ⅰ 虎拝
Ⅱ 天資国色
Ⅲ 抜け駆けの功名
Ⅳ 粛整
レベルⅡ
Ⅰ 瓶子
Ⅱ 我御許
Ⅲ 而今而後
Ⅳ 蛇豕
レベルⅢ
Ⅰ 昱奕
Ⅱ 緡綸
Ⅲ 陰譴
Ⅳ 啄木鳥の子は卵から頷く
特別問題A～数学～
赤玉5個、白玉4個、青玉3個が入っている袋から、よくかき混ぜて玉を同時に3個取り出す。以下の問いに答えよ。
(1) 3個とも赤玉である確率を求めよ。
(2) 3個とも色の異なる確率を求めよ。
(3) 3個の玉の色が2種類である確率を求めよ。 [岐阜大]
特別問題B～数学～
定数pは素数とし、条件a(ab－p2)＝c2、b≦2cを満たす自然数の組(a,b,c)を考える。aが素数のとき、次の問いに答えよ。
(1) 自然数の組(a,b,c)の個数を、pを用いて表せ。
(2) a,b,cの最大公約数が1となるような自然数の組(a,b,c)の個数を、pを用いて表せ。 [東京慈恵会医科大]
特別問題C～化学～
有機塩基ニコチンのpKbの値は5.98である。ニコチンのプロトン付加反応、その共役酸のプロトン脱離反応を書き、ニコチンのpKaを求めよ。
3337時間目模範解答
レベルⅠ
Ⅰ 虎拝・・・こはい
意味：臣下が主君に拝謁する礼。
Ⅱ 天資国色・・・てんしこくしょく
意味：生まれつきの絶世の美人のこと。
Ⅲ 抜け駆けの功名・・・ぬ(け)が(けの)こうみょう
意味：他の仲間を出し抜いて得た功名。
Ⅳ 粛整・・・しゅくせい
意味：きちんとして行儀がいいこと。
レベルⅡ
Ⅰ 瓶子・・・へいし
意味：酒を入れて注ぐのに用いる、上部が膨らんだ壺型で口の狭い瓶。
Ⅱ 我御許・・・わおもと
意味：女性、特に妻を親しんで呼ぶ語。
Ⅲ 而今而後・・・じこんじご
意味：今からのち。これから。今後。
Ⅳ 蛇豕・・・だし
意味：ヘビとブタ。転じで、欲が深く凶暴な者のたとえ。
レベルⅢ
Ⅰ 昱奕・・・いくえき
意味：明るく輝く。
Ⅱ 緡綸・・・びんりん
意味：魚釣りの糸。
Ⅲ 陰譴・・・いんけん
意味：知らないうちに下るとがめ。
Ⅳ 啄木鳥の子は卵から頷く・・・きつつき(の)こ(は)たまご(から)うなず(く)
意味：生まれながらにして、将来を思わせる才能のあるたとえ。
特別問題A～数学～
(1) 5C3/12C3＝1/22
(2) (5・4・3)/12C3＝3/11
(3) 3個とも白玉である確率は4C3/12C3＝1/55、3個とも青玉である確率は3C3/12C3＝1/220
求める確率は、3個とも同じ色または3個とも異なる色の余事象の確率なので
1－(1/22＋1/55＋1/220＋3/11)＝29/44
特別問題B～数学～
(1) a(ab－p2)＝c2・・・① aは素数であるから、c^2はaの倍数である。すなわちcもaの倍数だから、nを自然数としてc＝anと表せる。
①に代入してa(b－n2)＝a2n2よりb－n2＝p よって、b＝n2＋p、また、c＝an＝pn
ゆえに(a,b,c)＝(p,n2＋p,pn) さらに、条件b≦2cよりn2＋p≦2pn
∴n2－2pn＋p≦0、nについてこの不等式を解くと、p－√(p2－p)≦n≦p＋√(p2－p)
ここで√(p2－1)2＜√{p(p－1)}＜√p2よりp－1＜√(p2－p)＜p
よって自然数nの値はp－(p－1)≦n≦p＋(p－1)、1≦n≦2p－1
したがって、自然数の組(a,b,c)の個数は2p－1
(2) (1)より(a,b,c)＝(p,n2＋p,pn)だからa,b,cの最大公約数が1であるときb＝n2＋pがpの倍数でなければよい。すなわちnがpの倍数でなければよいのでnがpの倍数は1≦n≦2p－1の範囲でn＝pを除けばよいので求める個数は(2p－1)＝2(p－1)
特別問題C～化学～
ニコチンのプロトン付加反応はNic(aq)＋H2O(l)⇋NicH+(aq)＋OH-(aq)
また、共役酸のプロトン離脱反応は
NicH+(aq)＋H2O(l)⇋Nic(aq)＋H+3O
pKa＋pKb＝pKw(＝14)より、pKa＝pKw－pKb＝14.00－5.98＝8.02
ニコチンはC10H14N2で表されるが、プロトン付加反応式を書く上ではこの組成式は無意味である。
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