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3335時間目 ~諺・四字熟語~

次の漢字の読みを記せ。

ことわざ

Ⅰ 三つ子に釣り髭

Ⅱ 絹篩で篩ったよう

Ⅲ 海豚の千匹連れ

Ⅳ 初対面の捨て枕

Ⅴ 文殊の知恵も恋には曇る

四字熟語

Ⅰ 慷慨忠直

Ⅱ 虞芮の訴え

Ⅲ 句駮省便

Ⅳ 蟄居屏息

Ⅴ 翻邪帰正

特別問題A~数学~

座標平面において、曲線y=-x2/2+1をC1とし、曲線y=-|x|をC2とする。また、曲線C1とC2に囲まれた領域をDとする。このとき、以下の問いに答えよ。

(1) 曲線C1と曲線C2との交点の座標を求めよ。
(2) 領域Dを図示せよ。
(3) 点(x,y)が領域Dを動くとき、y+x2の最大値と最小値を求め、そのときの点(x,y)の座標を求めよ。 
[東京理科大]

特別問題B~数学~

△ABCにおいて、辺BCの中点MはAM=BM=1を満たす。内積BABCをtとする。

(1) tのとり得る値を求めよ。
(2) △ABCの面積が√7/4となるとき、tの値を求めよ。
(3) △ABCの周の長さAB+BC+CAの最大値と、そのときのtの値を求めよ。 
[群馬大]

特別問題C~物理~

半径aの導体球の外側に一様な誘電体(誘電率ε)が半径bの同心球まで詰まっている。その外側は真空である。導体に電荷Qを値たとき、下記の量を求めよ。但し、解答に用いた単位系名を明記せよ。

(1) 誘電体内および外の電束密度(電気変位)の大きさD1,D2 (1は誘電体内、2は真空中を示す。以下同様)
(2) 同じく、電場の強さE1,E2
(3) 同じく、電位V1,V2 (但し、無限遠方でV2=0かつ誘電体表面では連続であるとする)
(4) 球の外側の空間全体での体積積分∫DEdv
(5) この場合、静電エネルギーUをQと、(3)において得られる導体表面の電位Vaで表し、この結果からUと(4)の積分値との関係を求めよ。 
[東京大工学院]


3335時間目模範解答

ことわざ

Ⅰ 三つ子に釣り髭・・・み(つ)ご(に)つ(り)ひげ
意味:あり得ないこと。不似合いなことのたとえ。

Ⅱ 絹篩で篩ったよう・・・きぬふるい(で)ふる(ったよう)
意味:非常に精選したさまにいう。

Ⅲ 海豚の千匹連れ・・・いるか(の)せんびきづ(れ)
意味:あとからあとからぞろぞろ連れ立ってくるさま。

Ⅳ 初対面の捨て枕・・・しょたいめん(の)す(て)まくら
意味:花柳界で、遊女が初会には客と寝ないことをいう。

Ⅴ 文殊の知恵も恋には曇る・・・もんじゅ(の)ちえ(も)こい(には)くも(る)
意味:この上ない聡明な人でも恋愛は思うに任せないということ。

四字熟語

Ⅰ 慷慨忠直・・・こうがいちゅうちょく
意味:忠義の心から憤ること。

Ⅱ 虞芮の訴え・・・ぐぜい(の)うった(え)
意味:互いに利を争って訴えること。また、その訴えを恥じて取り下げること。

Ⅲ 句駮省便・・・こうはくせいべん
意味:財政の管理をしっかりして、出納をきちんとすること。

Ⅳ 蟄居屏息・・・ちっきょへいそく
意味:家にこもって外出せず、じっと隠れていること。

Ⅴ 翻邪帰正・・・ほんじゃきせい
意味:よこしまな思いを改めて、正しい道に立ち帰ること、

特別問題A~数学~

(1) C1:y=-x2/2+1・・・①、C2:y=-|x|・・・② C1とC2はy軸に関して対称だからx≧0とする。①、②より-x2/2+1=-x⇔x2-2x-2=0
∴x=1+√3 (x≧0) よって、C1とC2の交点の座標は(1+√3,-1-√3),(-1-√3,-1-√3)
(2) (1)の結果より領域Dはの斜線部で境界を含む。
(3) y+x2=kとおくと、y=-x2+k・・・③、③がDと共有点をもつとき、kが最大となるのは|-1|>|-1/2|より③が(1)で求めた点を通るときで、このときkの値はk=-1-√3+(1+√3)2=3+√3
また、③がy=-xに接するのは-x2+k=-x⇔(x-1/2)2=k+1/4が重解をもつときだからk=-1/4で、このとき重解はx=1/2だから確かにDに接する。
最大値3+√3,(x,y)=(±(1+√3),-1-√3)、最小値-1/4,(x,y)=(±1/2,-1/2)

特別問題B~数学~

(1) AM=BM=CMだから3点A,B,Cは点Mを中心とする半径1の円周上にある。BCはこの円の直径だから∠BAC=π/2
∠ABC=θ(0<θ<π/2)とおくと、t=BABC=|BA||BC|cosθ=2cosθ・2・cosθ=4cos2θ
0<θ<π/2より0<cosθ<1 よって、0<t<4
(2) (1)よりt=4cos2θ=4・(1-cos2θ)/2=2(1-cos2θ) ∴cosθ=1-t/2
△ABCの面積をSとすると、S=1/2・AB・AC=1/2・2cosθ・2sinθ=sin2θ
したがって、S2=sin22θ=1-cos22θ=1-(t/2)2=-t2/4+t
S=√7/4より-t2/4-16t+7=0、(2t-1)(2t-7)=0 t=1/2,7/2 (0<t<4を満たす)
(3) AB+BC+CA=2cosθ+2+2sinθ=2(sinθ+cosθ)+2=2√2sin(θ+π/4)+2
0<θ<π/2よりπ/4<θ+π/4<3π/4 したがって、θ+π/4=π/2 つまりθ=π/4のときAB+BC+CAは最大となり、最大値は2√2+3
また、このときt=4cos2(π/4)=
2

特別問題C~物理~

MKSA単位系を使用する。
(1) ガウスの法則よりD1・4πr2=Q、∴D1=Q/4πr2、D2・4πr2=Q、D2=Q/4πr2
(2) D1=εE、D2=ε0EよりE1=Q/4πεr2E2=Q/4πε0r
(3) $V_1(r)-V_2(\infty)=-\int^r_\infty\mathbf{E}d\mathbf{r}=\int^\infty_r Edr$

$=\int^b_rE_1dr+\int^\infty_bE_2dr=\int^b_r\cfrac{R}{4\pi\epsilon r^2}dr+\int^\infty_b\cfrac{R}{4\pi\epsilon_0r^2}dr$

$=\frac{Q}{4\pi\epsilon}[-\frac{1}{r}]^b_r+\frac{Q}{4\pi\epsilon_0r}[-\frac{1}{r}]^\infty_b$
∴V1(r)=Q/4πε・(1/r-1/b)+Q/4πε0・(1/b)
$V_2(r)-V_2(\infty)=-\int^r_\infty\mathbf{E}d\mathbf{r}=\int^\infty_rE_2dr$

$=\int^\infty_r\cfrac{Q}{4\pi\epsilon_0r}=\cfrac{Q}{4\pi\epsilon_0}[-\cfrac{1}{r}]^\infty_r$
∴V2=Q/4πε0r
(4) $\int^\infty_bDEdv=\int^\infty_b\frac{Q}{4\pi r^2}\cdot\frac{Q}{4\pi\epsilon_0r^2}\cdot4\pi r^2dr$

$=(\frac{Q}{4\pi})^2\frac{4\pi}{\epsilon_0}\int^\infty_b\frac{1}{r^2}dr=(\frac{Q}{4\pi})^2\frac{4\pi}{\epsilon_0}[-\frac{1}{r}]^\infty_b$

$=\cfrac{Q^2}{4\pi\epsilon_0b}=W (b\leq r)$
(5) (3)の結果より、Vε=Q/4πε・(1/a-1/b)+Q/4πε0(1/b)、Vb=Q/4πε0b
∴Va-Vb=Q/4πε(1/a-1/b)
誘電体中に蓄えられるエネルギーをU1、真空中に蓄えられるエネルギーをU2とすると
U1=1/2・Q(Va-Vb)=Q/2・Q/4πε・(1/a-1/b) (a≦r≦b)
U2=1/2・QVb=Q/2・Q/4πε0b=W/2 (b≦r)
∴U=U1+U2=Q/2・[Q/2πε・(1/a-1/b)+Q/4πε0b]=
QVa/2

LaTeXで幾分かマシにはなったが重い問題を並べるのは今後は控えるか・・・。

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