漢字戦場　～ブレイズム漢字講座ブログ～

3335時間目　～諺・四字熟語～

次の漢字の読みを記せ。

ことわざ

Ⅰ　三つ子に釣り髭

Ⅱ　絹篩で篩ったよう

Ⅲ　海豚の千匹連れ

Ⅳ　初対面の捨て枕

Ⅴ　文殊の知恵も恋には曇る

四字熟語

Ⅰ　慷慨忠直

Ⅱ　虞芮の訴え

Ⅲ　句駮省便

Ⅳ　蟄居屏息

Ⅴ　翻邪帰正

特別問題A～数学～

座標平面において、曲線y＝－x²/2＋1をC₁とし、曲線y＝－|x|をC₂とする。また、曲線C₁とC₂に囲まれた領域をDとする。このとき、以下の問いに答えよ。

(1) 曲線C₁と曲線C₂との交点の座標を求めよ。
(2) 領域Dを図示せよ。
(3) 点(x,y)が領域Dを動くとき、y＋x²の最大値と最小値を求め、そのときの点(x,y)の座標を求めよ。　[東京理科大]

特別問題B～数学～

△ABCにおいて、辺BCの中点MはAM＝BM＝1を満たす。内積BA・BCをtとする。

(1) tのとり得る値を求めよ。
(2) △ABCの面積が√7/4となるとき、tの値を求めよ。
(3) △ABCの周の長さAB＋BC＋CAの最大値と、そのときのtの値を求めよ。　[群馬大]

特別問題C～物理～

半径aの導体球の外側に一様な誘電体(誘電率ε)が半径bの同心球まで詰まっている。その外側は真空である。導体に電荷Qを値たとき、下記の量を求めよ。但し、解答に用いた単位系名を明記せよ。

(1) 誘電体内および外の電束密度(電気変位)の大きさD₁,D₂ (1は誘電体内、2は真空中を示す。以下同様)
(2) 同じく、電場の強さE₁,E₂
(3) 同じく、電位V₁,V₂ (但し、無限遠方でV₂＝0かつ誘電体表面では連続であるとする)
(4) 球の外側の空間全体での体積積分∫DEdv
(5) この場合、静電エネルギーUをQと、(3)において得られる導体表面の電位V_aで表し、この結果からUと(4)の積分値との関係を求めよ。　[東京大工学院]

3335時間目模範解答

ことわざ

Ⅰ　三つ子に釣り髭・・・み(つ)ご(に)つ(り)ひげ
意味：あり得ないこと。不似合いなことのたとえ。

Ⅱ　絹篩で篩ったよう・・・きぬふるい(で)ふる(ったよう)
意味：非常に精選したさまにいう。

Ⅲ　海豚の千匹連れ・・・いるか(の)せんびきづ(れ)
意味：あとからあとからぞろぞろ連れ立ってくるさま。

Ⅳ　初対面の捨て枕・・・しょたいめん(の)す(て)まくら
意味：花柳界で、遊女が初会には客と寝ないことをいう。

Ⅴ　文殊の知恵も恋には曇る・・・もんじゅ(の)ちえ(も)こい(には)くも(る)
意味：この上ない聡明な人でも恋愛は思うに任せないということ。

四字熟語

Ⅰ　慷慨忠直・・・こうがいちゅうちょく
意味：忠義の心から憤ること。

Ⅱ　虞芮の訴え・・・ぐぜい(の)うった(え)
意味：互いに利を争って訴えること。また、その訴えを恥じて取り下げること。

Ⅲ　句駮省便・・・こうはくせいべん
意味：財政の管理をしっかりして、出納をきちんとすること。

Ⅳ　蟄居屏息・・・ちっきょへいそく
意味：家にこもって外出せず、じっと隠れていること。

Ⅴ　翻邪帰正・・・ほんじゃきせい
意味：よこしまな思いを改めて、正しい道に立ち帰ること、

特別問題A～数学～

(1) C₁：y＝－x²/2＋1・・・①、C₂：y＝－|x|・・・②　C₁とC₂はy軸に関して対称だからx≧0とする。①、②より－x²/2＋1＝－x⇔x²－2x－2＝0
∴x＝1＋√3 (x≧0)　よって、C₁とC₂の交点の座標は(1＋√3,－1－√3),(－1－√3,－1－√3)
(2) (1)の結果より領域Dは図の斜線部で境界を含む。
(3) y＋x²＝kとおくと、y＝－x²＋k・・・③、③がDと共有点をもつとき、kが最大となるのは|－1|＞|－1/2|より③が(1)で求めた点を通るときで、このときkの値はk＝－1－√3＋(1＋√3)²＝3＋√3
また、③がy＝－xに接するのは－x²＋k＝－x⇔(x－1/2)²＝k＋1/4が重解をもつときだからk＝－1/4で、このとき重解はx＝1/2だから確かにDに接する。
∴最大値3＋√3,(x,y)＝(±(1＋√3),－1－√3)、最小値－1/4,(x,y)＝(±1/2,－1/2)

特別問題B～数学～

(1) AM＝BM＝CMだから3点A,B,Cは点Mを中心とする半径1の円周上にある。BCはこの円の直径だから∠BAC=π/2
∠ABC＝θ(0＜θ＜π/2)とおくと、t＝BA・BC＝|BA||BC|cosθ＝2cosθ・2・cosθ＝4cos²θ
0＜θ＜π/2より0＜cosθ＜1　よって、0＜t＜4
(2) (1)よりt＝4cos²θ＝4・(1－cos2θ)/2＝2(1－cos2θ)　∴cosθ＝1－t/2
△ABCの面積をSとすると、S＝1/2・AB・AC＝1/2・2cosθ・2sinθ＝sin2θ
したがって、S²＝sin²2θ＝1－cos²2θ＝1－(t/2)²＝－t²/4＋t
S＝√7/4より－t²/4－16t＋7＝0、(2t－1)(2t－7)＝0　t＝1/2,7/2 (0＜t＜4を満たす)
(3) AB＋BC＋CA＝2cosθ＋2＋2sinθ＝2(sinθ＋cosθ)＋2＝2√2sin(θ＋π/4)＋2
0＜θ＜π/2よりπ/4＜θ＋π/4＜3π/4　したがって、θ＋π/4＝π/2　つまりθ＝π/4のときAB＋BC＋CAは最大となり、最大値は2√2＋3
また、このときt＝4cos²(π/4)＝2

特別問題C～物理～

MKSA単位系を使用する。
(1) ガウスの法則よりD₁・4πr²＝Q、∴D₁＝Q/4πr²、D₂・4πr²＝Q、D₂＝Q/4πr²
(2) D₁＝εE、D₂＝ε₀EよりE₁＝Q/4πεr²、E₂＝Q/4πε₀r
(3) $V_1(r)-V_2(\infty)=-\int^r_\infty\mathbf{E}d\mathbf{r}=\int^\infty_r Edr$

$=\int^b_rE_1dr+\int^\infty_bE_2dr=\int^b_r\cfrac{R}{4\pi\epsilon r^2}dr+\int^\infty_b\cfrac{R}{4\pi\epsilon_0r^2}dr$

$=\frac{Q}{4\pi\epsilon}[-\frac{1}{r}]^b_r+\frac{Q}{4\pi\epsilon_0r}[-\frac{1}{r}]^\infty_b$
∴V₁(r)＝Q/4πε・(1/r－1/b)＋Q/4πε₀・(1/b)
$V_2(r)-V_2(\infty)=-\int^r_\infty\mathbf{E}d\mathbf{r}=\int^\infty_rE_2dr$

$=\int^\infty_r\cfrac{Q}{4\pi\epsilon_0r}=\cfrac{Q}{4\pi\epsilon_0}[-\cfrac{1}{r}]^\infty_r$
∴V₂＝Q/4πε₀r
(4) $\int^\infty_bDEdv=\int^\infty_b\frac{Q}{4\pi r^2}\cdot\frac{Q}{4\pi\epsilon_0r^2}\cdot4\pi r^2dr$

$=(\frac{Q}{4\pi})^2\frac{4\pi}{\epsilon_0}\int^\infty_b\frac{1}{r^2}dr=(\frac{Q}{4\pi})^2\frac{4\pi}{\epsilon_0}[-\frac{1}{r}]^\infty_b$

$=\cfrac{Q^2}{4\pi\epsilon_0b}=W (b\leq r)$
(5) (3)の結果より、V_ε＝Q/4πε・(1/a－1/b)＋Q/4πε₀(1/b)、V_b＝Q/4πε₀b
∴V_a－V_b＝Q/4πε(1/a－1/b)
誘電体中に蓄えられるエネルギーをU₁、真空中に蓄えられるエネルギーをU₂とすると
U₁＝1/2・Q(V_a－V_b)＝Q/2・Q/4πε・(1/a－1/b) (a≦r≦b)
U₂＝1/2・QV_b＝Q/2・Q/4πε₀b＝W/2 (b≦r)
∴U＝U₁＋U₂＝Q/2・[Q/2πε・(1/a－1/b)＋Q/4πε₀b]＝QV_a/2

LaTeXで幾分かマシにはなったが重い問題を並べるのは今後は控えるか・・・。

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