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3317時間目 ~漢検一級~

次の問いに答えよ。

漢検一級配当読み

次の漢字の読みを記せ。

Ⅰ 嘯聚

Ⅱ 柴燎

Ⅲ 弔愍

Ⅳ 勒卒

四字熟語・諺

次の四字熟語・諺の読みと意味を記せ。

Ⅰ 楓呉江に落つ

Ⅱ 伽羅と灸の痂

Ⅲ 伯兪泣杖

当て字・熟字訓

次の当て字・熟字訓の読みを記せ。

Ⅰ 杠谷樹

Ⅱ 諷言

Ⅲ 仙薬

特別問題A~数学~

座標平面上の点(p,0)から楕円C:x2/a2+y2/b2=1 (a>0,b>0)へ引いた2本の直線l1,l2が直交するとき、以下の問いに答えよ。但し、p>aとする。

(1) pをaとbを用いて表せ。
(2) a=√3、b=1のとき、楕円Cと接線l1,l2で囲まれた図形の面積を求めよ。 
[東京学芸大]

特別問題B~数学~

(1) nを2以上の自然数とするとき、関数fn(θ)=(1+cosθ)sinn-1θの0≦θ≦π/2における最大値Mnを求めよ。
(2) $\displaystyle \lim_{n\to\infty}(M_n)^n$を求めよ。 
[京都大]

特別問題C~化学~

ペンタカルボニル鉄Fe(CO)5にトリフェニルホスフィンを紫外線照射下で反応させると、2種類の錯体が得られる。これら2種類の錯体の構造を示し、それらを同定する方法について説明しなさい。 [慶応大学院応化]


3317時間目模範解答

漢検一級配当読み

Ⅰ 嘯聚・・・しょうじゅ
意味:多人数を誘い出して寄せ集めること。

Ⅱ 柴燎・・・さいりょう
意味:柴を焚いて天を祭る。

Ⅲ 弔愍・・・ちょうびん
意味:人の死をとむらいあわれむこと。

Ⅳ 勒卒・・・ろくそつ
意味:軍隊の編成を治めととのえること。

四字熟語・諺

Ⅰ 楓呉江に落つ・・・ふうごこう(に)お(つ)
意味:実際に見てみると、以前に聞いた評価としていたよりも劣って見えるようなものだということ。

Ⅱ 伽羅と灸の痂・・・きゃら(と)きゅう(の)かさ
意味:一見似ているがまったく違うもののたとえ。

Ⅲ 伯兪泣杖・・・はくゆきゅうじょう
意味:親が年老いたことに気付き、嘆き悲しむこと。

当て字・熟字訓

Ⅰ 杠谷樹・・・ひいらぎ[植]
概容:モクセイ科の常緑小高木。

Ⅱ 諷言・・・そえごと
意味:他のことになぞらえるなどの技巧を用いて、それとなくいう言葉。

Ⅲ 仙薬・・・しらも[]
概容:オゴノリ科の海藻。

特別問題A~数学~

(1) 点(p,0)は長軸の延長上にある。l1とl2が直交するからl1とx軸、l2とx軸が作る角は等しい。したがって、l1とl2の傾きは±1である。
l1:y=-x+pとする。Cと連立して、x2/a2+(-x+p)2/b2=1、b2x2+a2(x-p)2=a2b2、(a2+b2)x2-2a2px+a2(p2-b2)=0・・・①
判別式をDとすると、l1とCが接する条件はD/4=0
∴(a2p)2-(a2+b2)a2(p2-b2)=0、{a4-a2(a2+b2)}p2+a2b2(a2+b2)=0
a≠0、b≠0であるから、p2=a2+b2、p>a>0より、p=√(a2+b2)
(2) a=√3、b=1のときp=2である。①に代入して4x2-12x+9=0、(2x-3)2=0 ∴x=3/2
l1:y=-x+2に代入して、接点の座標は(3/2,1/2)である。求める面積はの赤色部である。図形をy軸方向に√3倍するとのようになる。
求める面積は2・1/√3・(1/2・2・√3/2-3/2・π/6)=
1-√3π/6

特別問題B~数学~

(1) fn(θ)=(1+cosθ)sinn-1θ (0≦θ≦π/2)
f'n(θ)=-sinθ・sinn-1θ+(1+cosθ)(n-1)sinn-2θcosθ=sinn-2θ{-sin2θ+(n-1)(1+cosθ)cosθ}=sinn-2θ(1+cosθ){-(1-cosθ)+(n-1)cosθ}=sinn-2θ(1+cosθ)(ncosθ-1)
0≦θ≦π/2のとき、1+cosθ>0、sinn-2θ≧0
n≧2のとき、ncosθ-1=0から、cosθ=1/nとなるが、これを満たすθは0<θ<π/2にただ1つ存在し、これをαとすると、fn(θ)の増減表は以下の通り。
$
\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|} \hline
   \theta & 0 & \cdots & \alpha & \cdots & \cfrac{\pi}{2} \\ \hline
  f_n'(\theta)  & 0 & + & 0 & - &  \\ \hline
  f_n(\theta)  &  & \nearrow & 極大 & \searrow &  \\ \hline
\end{array}
$
よって、求める最大値Mnは、Mn=f(α)=(1+cosα)sinn-1α、cosα=1/n、0<α<π/2より
sinα=√(1-cos2α)=√{1-(1/n)2}=√(1-1/n2)
よって、Mn=(1+1/n)(1-1/n2)(n-1)/2
(2) (1)の結果から、(Mn)n=(1+1/n)n(1-1/n2)n(n-1)/2=(1+1/n)n{(1+1/(-n2))-n2}-1/2・(1-1/n)
よって
$\displaystyle \lim_{n\to\infty}(M_n)^n=e\cdot e^{-\frac{1}{2}}=e^{\frac{1}{2}}-\color{red}{\sqrt{e}}$

特別問題C~化学~

2種の化合物(A),(B)が生成する。これらを同定するには、質量分析(FAB-MS)や赤外吸収スペクトル(IR)を用いる。なお、配位COを置換する場合、紫外線照射は一般的によく用いられる手法である。
2[Fe(CO)5]+3PPh→[Fe(CO)4(PPh)](A)+[Fe(CO)3(PPh)2](B)+3CO

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