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2965時間目 ～総合問題～
次の漢字の読みを記せ。
レベルⅠ
Ⅰ 壊漏
Ⅱ 刀筆書
Ⅲ 忘憂の物
Ⅳ 前雄
レベルⅡ
Ⅰ 多祜
Ⅱ 崇飲
Ⅲ 荊山の玉
レベルⅢ
Ⅰ 菹戮
Ⅱ 袀服
Ⅲ 騅駓
特別問題A～雑学～
次の設問に答えなさい。
(1) 手紙において追伸を意味する「P.S」とは、なんという英単語の略でしょう？
(2) 東京オリンピックの暑さ対策への利用が検討されている、暑さを和らげるために道や庭先に水を撒くことを何というでしょう？
(3) 日本語では「虹彩異色症」と呼ばれる、両目で瞳の色が異なることを何というでしょう？
(4) 生活などの苦労ではつらつとしたところがなくなるような様子を、ある食べ物を用いて「何くさい」というでしょう？
(5) 臓器移植を受けた患者から摘出した臓器を、さらに別の患者に移植することを何というでしょう？
特別問題B～数学～
整数nは、1≦n≦100を満たす。n、n＋2、n＋4がすべて素数となる整数nは、何個あるか。 [自治医大]
特別問題C～数学～
nを1以上の整数とする。
(1) n2＋1と5n2＋9の最大公約数dnを求めよ。
(2) (n2＋1)(5n2＋9)は整数の2乗にならないことを示せ。 [東京大]
2965時間目模範解答
レベルⅠ
Ⅰ 壊漏・・・かいろう
意味：やぶれもれる。こわれて雨がもる。
例：駅構内が大雨で壊漏したところがあった。
Ⅱ 刀筆書・・・とうひつしょ
意味：古代の書籍や文書をいう。
例：日本の一番古い刀筆書は古事記である。
Ⅲ 忘憂の物・・・ぼうゆう(の)もの
意味：憂いを忘れ、憂さを晴らすもの。酒をいう。
Ⅳ 前雄・・・ぜんゆう
意味：前代の英雄。いにしえの英雄。
例：滋賀には蜈蚣を退治した前雄の話が残っている。
レベルⅡ
Ⅰ 多祜・・・たこ
意味：しあわせが多い。
例：日本は多祜な社会であるか、あるいは不幸な社会なのか。
Ⅱ 崇飲・・・すういん
意味：集まって飲む。寄り合って酒を飲む。
例：お花見の季節で崇飲して夜まで打ち明ける。
Ⅲ 荊山の玉・・けいざん(の)ぎょく
意味：すぐれて賢い人のたとえ。
レベルⅢ
Ⅰ 菹戮・・・そりく
意味：中国古代の刑罰。殺して骨や肉を塩漬けにする。
Ⅱ 袀服・・・きんぷく
意味：黒い衣装。また、軍服。
例：8月15日は袀服で参拝する人も現れる。
Ⅲ 騅駓・・・すいひ
意味：あしげ馬としらかげ馬。
特別問題A～雑学～
(1) post script
(2) 打ち水
(3) オッドアイ
(4) ぬかみそくさい
(5) ドミノ移植
特別問題B～数学～
n＝1,2、いずれも3数n,n＋2,n＋4が素数となることはないが、n＝3のとき、3数はn＝3、n＋2＝5、n＋4＝7となりすべて素数である。
nが4以上のとき、3数がすべて素数になるためには、nが奇数でありかつ3の倍数でないことが必要である。
k＝1,2,3…,16にたいし、n＝6k－1のとき、n＋4＝6k－1＋4＝3(2k＋1)
n＝6k＋1のとき、n＋2＝6k＋1＋2＝3(2k＋1)となり、3数がすべて素数になることはない。
したがって、3数がすべて素数となるようなnの個数はn＝3の1個である。
特別問題C～数学～
(1) a,bの最大公約数を(a,b)とする。
dn＝(5n2＋9,n2＋1)＝(5n2＋9－5(n2＋1),n2＋1)＝(4,n2＋1)
これより、最大公約数の候補は4の約数であり、1,2,4のいずれかである。
(ア) nが偶数のとき、n2＋1は奇数なのでdn＝1
(イ) nが奇数のとき、n＝2k＋1(k：整数)とおけて、n2＋1＝(2k＋1)2＋1＝4k2＋4k＋2＝2(2k2＋2k＋1)であるから、n2＋1は2の奇数の積で、dn＝2
よって、nが偶数のとき1、奇数のとき2
(2) (n2＋1)(5n2＋9)は整数の2乗となると仮定する。
(Ⅰ) nが偶数のとき、n2＋1≧2、5n2＋9≧14
dn＝1より、n2＋1と5n2＋9は互いに素となる平方数を因数にもつ。よって互いに素な自然数A,Bを用いてn2＋1＝A2、5n2＋9＝B2と書ける。
このとき、A2－n2＝1、(A＋n)(A－n)＝1
n＞1よりA＋n＞A－nであるから積が1となることはなく矛盾する。
(Ⅱ) nが奇数のとき、dn＝2、つまりn2＋1と5n2＋9の最大公約数が2であるから互いに素な自然数C,Dを用いてn2＋1＝2C2、5n2＋9＝2D2と書ける。
このとき、(5n2＋9－5(n2＋1)＝2D2－10C2、D2－5C2＝2
合同式の法を5とすると、D2≡2であるが、D＝0,±1,±2よりD^2＝1,2,4であり、矛盾する。
(Ⅰ),(Ⅱ)より(n2＋1)(2n2＋9)は整数の2乗とはならない。 ■
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