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2940時間目 ～ADVANCED～
次の漢字の読みを記せ。
レベルⅠ
Ⅰ 舜日尭年
Ⅱ 彧彧
Ⅲ 彤管の貽
レベルⅡ
Ⅰ 白布聖
Ⅱ 海鏡
Ⅲ 黄瑞香
レベルⅢ
Ⅰ 竜眼木
Ⅱ 赤楊
Ⅲ 刺櫻
FINAL
地蜈蚣
特別問題A～数学～
0＜a＜1とする。球面x2＋y2＋z2＝1で囲まれる3部分のうちx≧0である部分をBとする。x＝aで切り、その体積を2等分する。次の問いに答えよ。
(1) aの満たす3次方程式を求めよ。
(2) a＝2cosθ(π/3＜θ＜π/2)とおく。このθについてcos3θの値を求めよ。
(3) θの値を求めよ。 [東京都市大]
特別問題B～数学～
楕円C：x2/a2＋y2＝1 (a＞1)上に点A(a,0)をとる。C上の点B(p,q)(q＞0)における接線lと線分BAのなす角が、lと直線x＝pのなす角に等しいとする。但し、2直線のなす角は鋭角の方をとるとする。
(1) 座標pをaで表せ。
(2) 極限値$\displaystyle \lim_{a\to1}p$および$\displaystyle \lim_{a\to\infty}\frac{p}{a}$を求めよ。 [東京工大]
2940時間目模範解答
レベルⅠ
Ⅰ 舜日尭年・・・しゅんじつぎょうねん
意味：天下泰平で盛んな世の中。
Ⅱ 彧彧・・・いくいく
意味
①：草などが茂って美しいさま。
②：模様をなして美しいさま。
Ⅲ 彤管の貽・・・たんかん(の)おくりもの
意味：男女が物を贈り合って交際を結ぶことを言う。
レベルⅡ
Ⅰ 白布聖・・・ペプシン
胃液中にある酵素の一つ。
Ⅱ 海鏡・・・つきひがい[貝]
ツキヒガイ科の二枚貝。
Ⅲ 黄瑞香・・・みつまた[植]
ジンチョウゲ科の落葉高木。
レベルⅢ
Ⅰ 竜眼木・・・さかき[植]
ツバキ科の常緑高木。
Ⅱ 赤楊・・・はんのき[植]
カバノキ科の落葉高木。
Ⅲ 刺櫻・・・はりぎり[植]
ウコギ科の落葉高木。
FINAL
地蜈蚣・・・トレニア[植]
ゴマノハグサ科の一年草。
特別問題A～数学～
(1) Bは半径1の半球であり、その体積は4/3π・1/2＝π/2である。
平面x＝aはこの体積を2等分するから、1つあたりの体積はπ/3である。
Bを平面x＝aで切った時にできる立体の一つは図の斜線部をx軸の周りに1回転してできる立体である。これがπ/3より
$\int^1_\alpha \pi(1-x^2)dx=\cfrac{\pi}{3}$
$\int^1_\alpha(1-x^2)dx=\cfrac{1}{3}$
$[x-\frac{1}{3}x^3]^1_\alpha=\cfrac{1}{3}$
2/3－a＋a3/3＝1/3 ∴a3－3a＋1＝0・・・①
(2) ①にa＝2cosθを代入して、8cos^3θ－6cosθ＋1＝0⇔2(4cos^3θ－3cosθ)＋1＝0
2cos3θ＝1 ∴cos3θ＝－1/2
(3) π/2＜θ＜π/3よりπ＜3θ＜3π/2より3θ＝4π/3 ∴θ＝4π/9
特別問題B～数学～
(1) Bが第1象限にあると、BAはlとx＝pとのなす鋭角内にあるので不適。そこでp＝acosθ(＜0),q＝sinθとおくと
BA＝(a(1－cosθ),－sinθ)、また、直線lとx＝pの方向ベクトルをそれぞれ
l＝(asinθ,－cosθ)、m＝(0,|BA|)とする。このとき(BA＋m)∥lだから
(a(1－cosθ),－sinθ＋|BA|)∥(asinθ,－cosθ)
∴asinθ(－sinθ＋|BA|)＝－asinθ(1－sinθ)
両辺をaで割って整理すると、|BA|sinθ＝1－cosθ
両辺を平方して1－cosθで割り、|BA|2＝a2(1－cosθ)2＋sin2θを代入して整理すると
(a2－1)cos2θ－2cosθ－a2＝0
∴$\cos\theta=\cfrac{1-\sqrt{a^4-a^2+1}}{a^2-1}$ (∵cosθ＜0)
よって$p=a\cos\theta=\color{red}{\cfrac{a(1-\sqrt{a^4-a^2+1})}{a^2-1}}$
(2) $\displaystyle \lim_{a\to1}p=\lim_{a\to1}\frac{-a^3(a^2-1)}{(a^2-1)(1+\sqrt{a^4-a^2+1})}$
$=\color{yellow}{-\cfrac{1}{2}}$
$\displaystyle \lim_{a\to\infty}\frac{p}{a}=\lim_{a\to\infty}\frac{\frac{1}{a^2}-\sqrt{1-\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^4}}}{1-\frac{1}{a^2}}$
$=\color{yellow}{-1}$
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