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2847時間目 ～総合問題～
次の漢字の読みを記せ。
レベルⅠ
Ⅰ 焦心苦慮
Ⅱ 厚幣
Ⅲ 困耗
Ⅳ 奉問
レベルⅡ
Ⅰ 刻斂
Ⅱ 巨惕
Ⅲ 雪駄の裏に灸
レベルⅢ
Ⅰ 尹吉
Ⅱ 辟瘴薬
Ⅲ 頫盻
特別問題A～数学～
空間内の4点O(0,0,0),A(1,0,0),B(0,0,1),C(1,1,2)を考える。点Pが直線OA上を動き、点Qが直線BC上を動くとする。
(1) PQ≧√2/2であることを示せ。
(2) PQ＝√2/2となる点P,Qを求めよ。また、そのP,Qに対して、直線PQは直線OAおよび直線BCに垂直であることを示せ。 [津田塾大]
特別問題B～数学～
直線l：mx＋ny＝1が楕円C：x2/a2＋y2/b2＝1 (a＞b＞0)に接しながら動くとする。
(1) 点(m,n)の軌跡は楕円になることを示せ。
(2) Cの焦点F1(－√(a2－b2,0)とlとの距離をd1とし、もう一つの焦点F2(√(a2－b2),0)とlとの距離をd2とする。このときd1d2＝b2を示せ。 [筑波大]
2847時間目模範解答
レベルⅠ
Ⅰ 焦心苦慮・・・しょうしんくりょ
意味：心を痛めて、あれこれ思いめぐらし悩むこと。
Ⅱ 厚幣・・・こうへい
意味：手あつく贈り物をする。また、手あつい贈り物。
例：退職する友達に厚幣する。
Ⅲ 困耗・・・こんもう
意味：貧しく苦しい。また、貧しくなる。
例：困耗している子供に親は見て見ぬふりをしている。
Ⅳ 奉問・・・ほうもん
意味：恭しく伺いたずねる。
例：NHKはなにも奉問せずに脅して訪ねてくる。
レベルⅡ
Ⅰ 刻斂・・・こくれん
意味：厳しく租税を取り立てる。
例：景気がいいというかりそめの理由で刻斂する。
Ⅱ 巨惕・・・きょてき
意味：大いに恐れる。また大きな恐れ。
例：大規模な地震が起こるかもしれないという巨惕がある。
Ⅲ 雪駄の裏に灸・・・せった(の)うら(に)きゅう
意味：長居の客を早く帰らせるまじない。
レベルⅢ
Ⅰ 尹吉・・・いんきつ
意味：正直で善良なこと。
例：尹吉な人ほど馬鹿を見る世界である。
Ⅱ 辟瘴薬・・・へきしょうやく
意味：瘴毒の気をはらい防ぐ薬。
Ⅲ 頫盻・・・ちょうけい
意味：頫盻して歩く人は太りやすいと言われている。
特別問題A～数学～
(1) OP＝pQA＝p(1,0,0) OQ＝OB＋qBC＝(0,0,1)＋q(1,1,1)
すなわち、P(p,0,0)、Q(q,q,q＋1)とおける。
∴PQ2＝(q－p)2＋q2＋(q＋1)2＝(p－q)2＋2(q＋1/2)2＋1/2
p,qは実数だから(p－q)2≧0かつ(q＋1/2)2＝0 ∴PQ2≧1/2
PQ＞0であるからPQ≧√2/2 ■
(2) (1)の結果よりPQ＝√2/2となるのはp－q＝0かつq＋1/2＝0のときだからp＝q＝－1/2
よってP(－1/2,0,0)、Q(－1/2,－1/2,1/2)のときで、このときPQ＝1/2・(0,－1,1)だから
OQ・OA＝1/2・{0・1＋(－1)・0＋1・0}＝0、PQ・BC＝1/2・{0・1＋(－1)・1＋1・1}＝0
よって直線PQは直線OAおよび直線BCに直交する。 ■
特別問題B～数学～
(1) 接点を(acosθ,bsinθ) (0≦θ＜2π)とおくと、接線の方程式はcosθ/a・x＋sinθ/b・y＝1とかけて、これがl：mx＋ny＝1に一致するので
m＝cosθ/a、n＝sinθ/b 2式よりθを消去すると(an)2＋(bm)2＝1・・・①→m2/(1/a)2＋n2/(1/b)2＝1
よって、点(m,n)の軌跡は楕円になる。 ■
(2) 点と直線の距離の公式よりd1は
d1＝|m(－√(a2＋b2))－1|/√(m2＋n2)＝|m√(a2＋b2)＋1|/√(m2＋n2)・・・② 同様に、d2＝|m√(a2－b2)－1|/√(m2＋n2)・・・③
①、②、③よりd1d2＝|m2(a2－b2)－1|/(m2＋n2)＝|m2(a2－b2)－(a2m2＋b2n2)|/(m2＋n2)＝(m2＋n2)b2/(m2＋n2)＝b2
∴d1d2＝b2 よって題意の等式は示された。 ■