漢字戦場　～ブレイズム漢字講座ブログ～

2846時間目　～総合問題～

次の漢字の読みを記せ。

レベルⅠ

Ⅰ　徴要

Ⅱ　君子は党せず

Ⅲ　心地光明

Ⅳ　漁奪

レベルⅡ

Ⅰ　掻首

Ⅱ　肚裏落涙

Ⅲ　草薙

レベルⅢ

Ⅰ　芻韻

Ⅱ　軋沕

Ⅲ　鏃鏃

特別問題A～数学～

△ABCの辺BC、CA、ABの中点をそれぞれL,M,Nとする。△PQRは3つの中線AL,BM,CNから作られた三角形で、PQ＝AL、QR＝BM、BP＝CNを満たしているとする。このとき、次の問いに答えよ。

(1) 中線ALとBMの交点をG、CGの中点をKとする。△ABCと△GKLの面積の比を求めよ。
(2) △GLKと△PQRの面積の比を求めよ。
(3) △ABCと△PQRの面積の比を求めよ。　[香川大]

特別問題B～数学～

t＞1とする。2つの曲線y＝logx、y＝log(x＋1)、および2つの直線y＝0、y＝tで囲まれた部分Aについて、次の問いに答えよ。

(1) Aの面積S(t)を求めよ。
(2) Aをy軸の周りに1回転してできる立体の体積W(t)を求めよ。
(3) (2)のW(t)について、$\displaystyle \lim_{t\to\infty}\frac{dW}{dt} $を求めよ。　[大阪市立大]

2846時間目模範解答

レベルⅠ

Ⅰ　徴要・・・ちょうよう
意味：確かな証拠。よりどころ。
例：検察は徴要がない限り不起訴処分になることが多い。

Ⅱ　君子は党せず・・・くんし(は)とう(せず)
意味：ちゃんとした人間は、偏頗な仲間びいきで言動すべきでない。

Ⅲ　心地光明・・・しんちこうめい
意味：心が清らかで正しく広いこと。

Ⅳ　漁奪・・・ぎょだつ
意味：民の物を奪い取る。
例：山賊によって登山者の食糧を漁奪された。

レベルⅡ

Ⅰ　掻首・・・かいしゅ
意味：頭をかく。心の落ち着かないときや不安に思う時の動作。

Ⅱ　肚裏落涙・・・とりらくるい
意味：心の中で泣く。表情にあらわさないで悲しみ嘆くこと。

Ⅲ　草薙・・・そうてい・(くさなぎ)
意味
①：草をなぎ切る。
②：乱れをおさめるたとえ。
例：君子は反乱軍を草薙した。

レベルⅢ

Ⅰ　芻韻・・・すういん
意味：つたない詩。自作の詩の謙称。

Ⅱ　軋沕・・・あつぶつ
意味：こまかいさま。また、はっきりしないさま。
例：文字が軋沕としていて機械では読み取れなかった。

Ⅲ　鏃鏃・・・ぞくぞく
意味：新しく目立つ様子。
例：令和の文字が鏃鏃たりとして掲げられた。

特別問題A～数学～

(1) 中線ALとBMの交点Gは、△ABCの重心だからGL＝1/3・AL、GK＝1/2・GC
よって△GKL＝1/2・△GLC＝1/2・1/3・△ALC＝1/6・1/2・△ABC
よって、△ABCと△GLKの面積の比は1：12
(2) GL＝1/3・AL＝1/3・PQ、GK＝1/2・GC＝1/3・NC＝1/3・PR
よって、△GLKと△PQRは相似で、その相似比は1：3
ゆえに、△GLKと△PQRの面積の比は1²：3²＝1：9
(3) (1),(2)の結果から、△ABCと△PQRの面積の比は12：9＝4：3

特別問題B～数学～

(1) y＝log(x＋1) (0≦x≦t)の下の部分からy＝logx (1≦x≦t)の下の部分を除く。
$S(t)=\int^t_0\log(x+1)dx-\int^t_1\log xdx$

$=[(x+1)\log(x+1)-x]^t_0-[x\log x-x]^t_1$

$=(t+1)\log(t+1)-t-\{t\log t-t-(-1)\}$

$=\color{red}{(t+1)\log(t+1)-t\log t-1}$
(2) y＝logx (1≦x≦t)を回転させ、それに円柱を付けたものからy＝log(t＋1) (0≦x≦t)を回転させたものを引く。
y＝logxのときx＝e^y
$W(t)=\pi\int^a_0(e^y)^2dy+\pi t^2(b-a)-\pi\int^b_0(e^y-1)dy$より
$\frac{W(t)}{\pi}=\int^a_0 e^{2y}dy+t^2(b-a)-\int^b_0(e^{2y}-2e^y+1)dy$

$=\frac{1}{2}e^{2a}-\frac{1}{2}+t^2(b-a)-(\frac{1}{2}e^{2b}-2e^b+b)+\frac{1}{2}-2$

$=(t^2-1)b-t^2a+\frac{1}{2}e^{2a}-\frac{1}{2}e^{2b}+2e^b-2$
ここでe^a＝t、e^b＝t＋1より
W(t)/π＝(t²－1)log(t＋1)－t²logt＋t²/2－(t＋1)²/2＋2(t＋1)－2＝(t²－1)log(t＋1)－t²logt＋t－1/2
∴W(t)＝π{(t²－1)log(t＋1)－t²logt＋t－1/2}
(3) (2)よりdW/dt＝π(2tlog(t＋1)＋(t²－1)/(t＋1)－2tlogt－t²/t＋1)＝2πt(log(t＋1)－logt)＝2πlog(1＋1/t)^t
∴$\displaystyle \lim_{t\to\infty}\frac{dW}{dt}=\lim_{t\to\infty}2\pi\log(t+\frac{1}{t})^t=2\pi\log e=\color{red}{2\pi}$