2846時間目 ~総合問題~
次の漢字の読みを記せ。
レベルⅠ
Ⅰ 徴要
Ⅱ 君子は党せず
Ⅲ 心地光明
Ⅳ 漁奪
レベルⅡ
Ⅰ 掻首
Ⅱ 肚裏落涙
Ⅲ 草薙
レベルⅢ
Ⅰ 芻韻
Ⅱ 軋沕
Ⅲ 鏃鏃
特別問題A~数学~
△ABCの辺BC、CA、ABの中点をそれぞれL,M,Nとする。△PQRは3つの中線AL,BM,CNから作られた三角形で、PQ=AL、QR=BM、BP=CNを満たしているとする。このとき、次の問いに答えよ。
(1) 中線ALとBMの交点をG、CGの中点をKとする。△ABCと△GKLの面積の比を求めよ。
(2) △GLKと△PQRの面積の比を求めよ。
(3) △ABCと△PQRの面積の比を求めよ。 [香川大]
特別問題B~数学~
t>1とする。2つの曲線y=logx、y=log(x+1)、および2つの直線y=0、y=tで囲まれた部分Aについて、次の問いに答えよ。
(1) Aの面積S(t)を求めよ。
(2) Aをy軸の周りに1回転してできる立体の体積W(t)を求めよ。
(3) (2)のW(t)について、$\displaystyle \lim_{t\to\infty}\frac{dW}{dt} $を求めよ。 [大阪市立大]
2846時間目模範解答
レベルⅠ
Ⅰ 徴要・・・ちょうよう
意味:確かな証拠。よりどころ。
例:検察は徴要がない限り不起訴処分になることが多い。
Ⅱ 君子は党せず・・・くんし(は)とう(せず)
意味:ちゃんとした人間は、偏頗な仲間びいきで言動すべきでない。
Ⅲ 心地光明・・・しんちこうめい
意味:心が清らかで正しく広いこと。
Ⅳ 漁奪・・・ぎょだつ
意味:民の物を奪い取る。
例:山賊によって登山者の食糧を漁奪された。
レベルⅡ
Ⅰ 掻首・・・かいしゅ
意味:頭をかく。心の落ち着かないときや不安に思う時の動作。
Ⅱ 肚裏落涙・・・とりらくるい
意味:心の中で泣く。表情にあらわさないで悲しみ嘆くこと。
Ⅲ 草薙・・・そうてい・(くさなぎ)
意味
①:草をなぎ切る。
②:乱れをおさめるたとえ。
例:君子は反乱軍を草薙した。
レベルⅢ
Ⅰ 芻韻・・・すういん
意味:つたない詩。自作の詩の謙称。
Ⅱ 軋沕・・・あつぶつ
意味:こまかいさま。また、はっきりしないさま。
例:文字が軋沕としていて機械では読み取れなかった。
Ⅲ 鏃鏃・・・ぞくぞく
意味:新しく目立つ様子。
例:令和の文字が鏃鏃たりとして掲げられた。
特別問題A~数学~
(1) 中線ALとBMの交点Gは、△ABCの重心だからGL=1/3・AL、GK=1/2・GC
よって△GKL=1/2・△GLC=1/2・1/3・△ALC=1/6・1/2・△ABC
よって、△ABCと△GLKの面積の比は1:12
(2) GL=1/3・AL=1/3・PQ、GK=1/2・GC=1/3・NC=1/3・PR
よって、△GLKと△PQRは相似で、その相似比は1:3
ゆえに、△GLKと△PQRの面積の比は12:32=1:9
(3) (1),(2)の結果から、△ABCと△PQRの面積の比は12:9=4:3
特別問題B~数学~
(1) y=log(x+1) (0≦x≦t)の下の部分からy=logx (1≦x≦t)の下の部分を除く。
$S(t)=\int^t_0\log(x+1)dx-\int^t_1\log xdx$
$=[(x+1)\log(x+1)-x]^t_0-[x\log x-x]^t_1$
$=(t+1)\log(t+1)-t-\{t\log t-t-(-1)\}$
$=\color{red}{(t+1)\log(t+1)-t\log t-1}$
(2) y=logx (1≦x≦t)を回転させ、それに円柱を付けたものからy=log(t+1) (0≦x≦t)を回転させたものを引く。
y=logxのときx=ey
$W(t)=\pi\int^a_0(e^y)^2dy+\pi t^2(b-a)-\pi\int^b_0(e^y-1)dy$より
$\frac{W(t)}{\pi}=\int^a_0 e^{2y}dy+t^2(b-a)-\int^b_0(e^{2y}-2e^y+1)dy$
$=\frac{1}{2}e^{2a}-\frac{1}{2}+t^2(b-a)-(\frac{1}{2}e^{2b}-2e^b+b)+\frac{1}{2}-2$
$=(t^2-1)b-t^2a+\frac{1}{2}e^{2a}-\frac{1}{2}e^{2b}+2e^b-2$
ここでea=t、eb=t+1より
W(t)/π=(t2-1)log(t+1)-t2logt+t2/2-(t+1)2/2+2(t+1)-2=(t2-1)log(t+1)-t2logt+t-1/2
∴W(t)=π{(t2-1)log(t+1)-t2logt+t-1/2}
(3) (2)よりdW/dt=π(2tlog(t+1)+(t2-1)/(t+1)-2tlogt-t2/t+1)=2πt(log(t+1)-logt)=2πlog(1+1/t)t
∴$\displaystyle \lim_{t\to\infty}\frac{dW}{dt}=\lim_{t\to\infty}2\pi\log(t+\frac{1}{t})^t=2\pi\log e=\color{red}{2\pi}$