漢字戦場　～ブレイズム漢字講座ブログ～

2736時間目　～BASIC～

次の漢字の読みを記せ。

レベルⅠ

Ⅰ　自注

Ⅱ　稼政

Ⅲ　翼駆

Ⅳ　興余

レベルⅡ

Ⅰ　窃鉤

Ⅱ　素臉

Ⅲ　眷私

レベルⅢ

Ⅰ　甲坼

Ⅱ　緇磷

Ⅲ　脕顔

特別問題A～数学～

x,yは不等式0≦x≦π、0≦y≦π/2、およびcosx＋cos2x＝0を満たすとする。

(1) yをxの式で表せ。
(2) xy²の最大値を求めよ。　[成蹊大]

特別問題B～数学～

nを2以上の整数とする。自然数(1以上の整数)のn乗になる数をn乗数と呼ぶことにする。以下の問いに答えよ。

(1) 連続する2個の自然数の積はn乗数でないことを示せ。
(2) 連続するn個の自然数の積はn乗数でないことを示せ。　[東京大]

2736時間目模範解答

レベルⅠ

Ⅰ　自注・・・じちゅう
意味：自分の著作に自分で注を付けること。
例：この本の最終ページに自注がつけてある。

Ⅱ　稼政・・・かせい
意味：田地や田間の溝などに関する行政。
例：稼政の例としては墾田永年私財法などがある。

Ⅲ　翼駆・・・よくく
意味：鳥のように。はやくはしる。
例：彼は翼駆して退散した。

Ⅳ　興余・・・きょうよ
意味：興趣がありあまる。面白みがつきる。
例：漢字クラスタ大会の興余で酒を飲む。

レベルⅡ

Ⅰ　窃鉤・・・せっこう
意味：帯につける鍵を盗む。小盗をいう。

Ⅱ　素臉・・・そけん
意味：白い顔。
例：目が真っ赤な素臉の大絶叫を放つマインドクラッシャーを踏んでしまう。

Ⅲ　眷私・・・けんし
意味：情けをかける。愛顧すること。
例：彼は彼女が好きすぎていつも眷私をかける。

レベルⅢ

Ⅰ　甲坼・・・こうたく
意味：草木が芽を出すこと。
例：春になって切り株から甲坼する。

Ⅱ　緇磷・・・しりん
意味：黒くなることとうすくなること。世俗に汚し染められるたとえ。
例：この神社の僧は女に手を出して緇磷せしめられる。

Ⅲ　脕顔・・・べんがん
意味：麗しい顔。
例：彼女の脕顔は世界にも通用するものだった。

特別問題A～数学～

(1) cosx＋cos2y＝0⇔cos2y＝cos(π－x)・・・①
0≦x≦π、0≦π－x≦π、0≦2y≦π・・・②
θの関数f(θ)＝cosθは0≦θ≦πの範囲で単調減少だから①、②より2y＝π－x
∴y＝π/2－x/2
(2) (1)よりxy²＝x{(π－x)/2}²＝1/4・x(π－x)²＝(x³－2πx²＋π²x)/4
f(x)＝(x³－2πx²＋π²x)/4 (0≦x≦π)とおく。
f'(x)＝(3x²－4πx＋π²)/4＝(3x－π)(π－x)/4
これより図の増減表が得られ、求める最大値はπ³/27

特別問題B～数学～

(1) 連続する2個の自然数をa,a＋1とし、a(a＋1)がn(≧2)乗数であると仮定し、a(a＋1)＝bⁿ (b：自然数)・・・①とする。
aとa＋1は互いに素であるからaとa＋1を素因数分解すると、共通な因数はないので①よりa＝cⁿ、a＋1＝dⁿ (c,d：自然数)とおける。但し1≦c≦dである。
したがって、1＝(a＋1)－a＝dⁿ－cⁿ≧(c＋1)²－cⁿ≧ncⁿ≧2　(∵n≧2)となり矛盾する。
よって、連続する2個の整数はn乗数ではない。
(2) (1)よりn≧3の場合について示せばよい。連続するn個の自然数の積がn乗数とするとa(a＋1)(a＋2)・・・(a＋n－1)＝eⁿ(a,e：自然数)とおける。
このときaⁿ＜eⁿ＜(a＋n－1)ⁿ、∴a＜e＜a＋n－1であるから、e∈{a＋1,a＋2,…,a＋n－2}
そこでe＝a＋k(1≦k≦n－2　k：自然数)とおくと、a(a＋1)・・・(a＋k)・・・(a＋n－1)＝(a＋k)²
∴a(a＋1)・・・(a＋k－1)(a＋k＋1)・・・(a＋n－1)＝(a＋k)^n-1
すなわち(a＋k)^n-1はa＋k＋1で割り切れることになるが、a＋k(≧2)とa＋k＋1は互いに素であるから矛盾する。
よって連続するn個の自然数の積はn乗数でない。

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