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2722時間目 ～BASIC～
次の漢字の読みを記せ。
レベルⅠ
Ⅰ 国成
Ⅱ 宗英
Ⅲ 幣田
Ⅳ 促急
レベルⅡ
Ⅰ 寒畯
Ⅱ 呑蝕
Ⅲ 聘用
レベルⅢ
Ⅰ 鴞炙
Ⅱ 肆吻
Ⅲ 蘊礫
特別問題A～数学～
θは0°≦θ≦180°を満たす角とする。このとき、xの二次関数f(x)＝x2－2(cosθ)x＋sin2θについて、以下の問いに答えよ。
(1) f(x)の最小値が0となるような、角θを求めよ。
(2) θが45°≦θ≦150°の範囲を動くとき、放物線y＝f(x)の頂点の軌跡を求めよ。 [法政大]
特別問題B～数学～
xy平面上に円C：x2＋y2＝1がある。Cの外部の点P(s,t) (s≠±1)からCへ2本の直線と直線x＝1との交点をQ,Rとする。次の問に答えよ。
(1) 線分QRの長さをs,tを用いて表せ。
(2) QRの長さが1であるようにPが動くとき、Pの軌跡を求め、図示せよ。 [横浜国立大]
2722時間目模範解答
レベルⅠ
Ⅰ 国成・・・こくせい
意味：国の治平。
例：外国人労働者の受け入れは国成を破壊するという意見もある。
Ⅱ 宗英・・・そうえい
意味：一族中のすぐれた者。
例：弟は家族の中でも宗英な人物だった。
Ⅲ 幣田・・・へいでん
意味：幣帛を調進するために供された田地。
例：神棚に備えるための幣田を設ける。
Ⅳ 促急・・・そっきゅう
意味
①：厳しくせきたてる。
②：せっかち。気短。
例：早く仕事をしろと促急する。
レベルⅡ
Ⅰ 寒畯・・・かんしゅん
意味
①：田舎者。やぼったいひと。
②：身にしみる貧苦。
例：彼は寒畯を感じながらもニート生活をしている。
Ⅱ 呑蝕・・・どんしょく
意味：ほろぼしむしばむ。他をしのぐこと。
例：秦の国はどんどん呑蝕されていった。
Ⅲ 聘用・・・へいよう
意味：礼を尽くして人を取り立て用いる。
例：浅学博識の徒を聘用する。
レベルⅢ
Ⅰ 鴞炙・・・ごうしゃ
意味：贅沢な食べ物を例えていう。
例：朝飯でも鴞炙なものをいただく。
Ⅱ 肆吻・・・しふん
意味：気兼ねなくものを言うこと。
例：上司にも肆吻できる職業環境が欲しい。
Ⅲ 蘊礫・・・うんれき
意味：小石を包むこと。
特別問題A～数学～
(1) f(x)＝x2－2(cosθ)x＋sin2θ＝(x－cosθ)2－cos2θ＋sin2θ＝(x－cos2θ)＋1－2cosθ
f(x)の最小値が0となるとき、1－2cos2θ＝0 cosθ＝±1/√2 0°≦θ≦180°よりθ＝45°、135°
(2) 放物線y＝f(x)の頂点を(X,Y)とすると、X＝cosθ、Y＝1－2cos2θ
θを消去すればY＝1－2X2を得る。θが45°≦θ≦150°の範囲を動くときXの取りうる値は－√3/2≦X≦√2/2である。
以上より、求める軌跡は放物線の一部 y＝－2x2＋1(－√3/2≦x≦√2/2)で図。
特別問題B～数学～
(1) 円Cの外部の点P(s,t) (s≠±1)を通り傾きがmの直線をlとする。lの方程式はy＝m(x－s)＋t→y＝mx＋t－sm→mx－y＋t－sm＝0
lがCに接するとき、原点Oとlの距離が1だから|t－sm|/√(m2＋1)＝1→(t－sm)2＝m2＋1 ∴(s2－1)m2－2stm＋(t2－1)＝0・・・①
mの2次方程式①の2解をα、βとすると、Pを通るCの2接線は
lα：y＝αx＋t－αs、lβ：y＝βx＋t－βs
Qはlαと直線x＝1の交点、Rはlβと直線x＝1の交点だからQ(1,α＋t－αs)、R(1,β＋t－βs)
∴QR＝|α－β||s－1|・・・② ここで①の解と係数の関係よりα＋β＝2st/(s2－1)、αβ＝(t2－1)/(s2－1) したがって
(α－β)2＝(α＋β)2－4αβ＝4s2t2/(s2－1)2－4(t2－1)/(s2－1)＝4{s2t2－(s2－1)(t2－1)}/(s2－1)2＝4(s2＋t2－1)/{(s2＋1)2(s－1)2
∴|α－β|＝2√(s2＋t2－1)/{(s＋1)(s－1)}・・・③
②、③よりQR＝√(s2＋t2－1)/|s＋1|
(2) s≠±1のもとで、(1)の結果を用いると、QR＝1より√(s2＋t2－1)＝|s＋1|→4(s2＋t2－1)＝s2＋2s＋1→3(s－1/3)2＋3t2/4＝1
s＝－1のときt＝0、s＝1のときt＝±1となるので求める軌跡は次の式で表され、楕円の一部である。
9/16・(x－1/3)2＋3y2/4＝1、(x,y)≠(－1,0),(1,±1)
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