漢字戦場　～ブレイズム漢字講座ブログ～

2703時間目　～諺・四字熟語～

次の漢字の読みを記せ。

Ⅰ　蟷螂蝉を搏つ

Ⅱ　匠石斤を運らす

Ⅲ　凍硯を呵す

Ⅳ　東海を踏みて死す

Ⅴ　名はよき膏に勝る

Ⅵ　千荊万棘

Ⅶ　千古不磨

Ⅷ　墨守成規

Ⅸ　孤掌難鳴

Ⅹ　標槍旁排

特別問題A～数学～

△ABCの外接円の半径を1、その中心をOとする。△ABCにおいて4OA＋3OB＋5OC＝0が成立している。

(1) 辺AC、BCの長さを求めよ。
(2) △ABCの面積を求めよ。　[日本大]

特別問題B～数学～

aを0＜a＜1を満たす実数とする。座標平面内で3つの不等式
・x≦a
・y≦a
・y≦－x²＋2x
の表す領域の面積をS(a)とおく。S(a)が最大となるaの値を求めよ。　[東北大]

2703時間目模範解答

Ⅰ　蟷螂蝉を搏つ・・・とうろうせみ(を)う(つ)
意味：目の前の利益を貪って、後の災難を考えないたとえ。

Ⅱ　匠石斤を運らす・・・しょうせききん(を)めぐ(らす)
意味：技芸や奥義を極めることのたとえ。

Ⅲ　凍硯を呵す・・・とうけん(を)か(す)
意味：寒中に詩文を草する。

Ⅳ　東海を踏みて死す・・・とうかい(を)ふ(みて)し(す)
意味：無道の世の中を憤って死ぬことをいう。

Ⅴ　名はよき膏に勝る・・・な(はよき)あぶら(に)まさ(る)
意味：名声は良い栄養物より尊ぶべきである。

Ⅵ　千荊万棘・・・せんけいばんきょく
意味：非常に多くの困難があること。
例：発達障害には千荊万棘な生活だが頑張るしかない。

Ⅶ　千古不磨・・・せんこふま
意味：永久に滅びない。
例：千古不磨の掟を破る。

Ⅷ　墨守成規・・・ぼくしゅせいき
意味：古くからあるやり方を固く守って、変え改めようとしないこと。
例：保守とは墨守成規な思想ではなく漸進性がある。

Ⅸ　孤掌難鳴・・・こしょうなんめい
意味：何事をなすにも、一人ではどうしようもできないこと。
例：この大事業を成し遂げるのは到底孤掌難鳴である。

Ⅹ　標槍旁排・・・ひょうそうほうはい
意味：投げ槍と楯。

特別問題A～数学～

(1) 外接円の半径が1だから|OA|＝|OB|＝|OC|＝1
4OA＋3OB＋5OC＝0・・・①より4OA＋5OC＝－3OB→|4OA＋5OC|²＝|－3OB|²→16|OA|²＋40OA・OC＋25|OC|²＝9|OB|
∴OA・OC＝－4/5　同様にして①より|3OA＋5OC^|2＝|－4OA|²
9|OB|²＋30OB・OC＋25|OC|＝16|OA|²　∴OB・OC＝－3/5
したがってAC²＝|AC|²＝|OC－OA|²＝|OC|²－2OC・OA＋|OA|²＝1－2(－4/5)＋1＝18/5
BC²＝|BC|²＝|OC－OB|²＝|OC|²－2OC・OB＋|OB|²＝1－2(－3/5)＋1＝16/5
よってAC＞0、BC＞0よりAC＝3√10/5、BC＝4√5/5
(2) ①より|4OA＋3OB|²＝|－5OC|²→16|OA|²＋24OA・OB＋9|OB|²＝25|OC|²
16＋24OA・OB＝25　OA・OB＝0　したがって
CA・CB＝(OA－OC)・(OB－OC)＝OA・OB－OA・OC－OC・OB＋|OC|²＝0＋4/5＋3/5＋1＝12/5
よって△ABC＝1/2・√{|CA|²|CB|²－(CA・CB)²}＝1/2・√{18/5・16/5－(12/5)²}＝1/2・12/5＝6/5

特別問題B～数学～

0＜a＜1のとき、x≦a、y≧a、y＝－x²＋2xの表す領域は図。この面積S(a)はy＝－x²＋2xとy＝aの交点は－x²＋2x＝aよりx＝1±√(1－a)
①のときa＞1－√(1－a)より
$S(a)=\int^a_{1-\sqrt{1-a}}(-x^2+2x-a)dx$

$=[-\frac{x^3}{3}+x^2-ax]^a_{1-\sqrt{1-a}}$

$=-\frac{a^3}{3}+\frac{2}{3}(1-a)^{\frac{3}{2}}+a-\frac{2}{3}$
このときS'(a)＝(1－a²)－(1－a)^1/2　①のときS'(a)＝0より(1－a)^1/2(1＋a)＝1
両辺正より平方して(1－a)(1＋a)²＝1→－a(a²＋a－1)＝0
①の範囲でこれを満たすのはa＝(－1＋√5)/2
したがって、①の範囲でS'(a)はこの値の前後で＋から－へ変わるからこのとき最大かつ極大である。
よって、S(a)を最大にする値はa＝(－1＋√5)/2

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