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2699時間目 ～漢字一文字～
次の漢字の読みを記せ。
レベルⅠ
Ⅰ 殴る
Ⅱ 泥
Ⅲ 辺り
レベルⅡ
Ⅰ 萌やし
Ⅱ 芹
Ⅲ 艮
レベルⅢ
Ⅰ 穡しむ
Ⅱ 紿く
Ⅲ 絁
Ⅳ 皥い
特別問題A～数学～
座標平面において、点A(0,3)と曲線y＝√x上の点P(t,√t)との距離をLとする。このとき、以下の問いに答えよ。
(1) L2をtの式で表せ。
(2) Lの最小値を求めよ。 [大阪電気通信大]
特別問題B～数学～
曲線C1：y＝x2/2の点P(a,a2/2)における法線と点Q(b,b2/2)における法線の交点をRとする。但し、b≠aとする。このとき、次の問いに答えよ。
(1) bがaに限りなく近づくとき、Rはある点Aに限りなく近づく。Aの座標をaで示せ。
(2) 点Pが曲線C1上を動くとき、(1)で求めた点Aを描く軌跡をC2とする。曲線C1と軌跡C2の概形を描き、C1とC2の交点の座標を求めよ。
(3) 曲線C1と軌跡C2で囲まれた部分の面積を求めよ。 [九州大]
2699時間目模範解答
レベルⅠ
Ⅰ 殴る・・・なぐ(る)
意味
①：相手を乱暴に強く打つ。
②：乱暴に物事をする。
Ⅱ 泥・・・どろ
意味：水が混じってやわらかくなった土。
Ⅲ 辺り・・・あた(り)
意味：ある地点の周囲。場所・時・人・事柄・数量などをはっきり示さずに、婉曲に言い表す語。
レベルⅡ
Ⅰ 萌やし・・・も(やし)
意味：穀類などの種子を光に当てずに発芽させたもの。
Ⅱ 芹・・・せり[植]
セリ科の多年草。
Ⅲ 艮・・・うしとら
意味：丑と寅の中間の方角。北東。
レベルⅢ
Ⅰ 穡しむ・・・お(しむ)
意味：ものおしみする。ものおしみ。けち。
Ⅱ 紿く・・・あざむ(く)
意味：言葉巧みにうそを言って、相手をだます。
Ⅲ 絁・・・あしぎぬ
意味：太い糸で織った粗末な絹布。
Ⅳ 皥い・・・しろ(い)
意味：白く明らかなさま。
特別問題A～数学～
(1) A(0,3)とP(t,√t)との距離だから
L2＝(t－0)2＋(√t－3)2＝t2＋t－6√t＋9
(2) f(t)＝t2＋t－6√t＋9(t＞0)とおくと
f'(t)＝2t＋1－3/√t＝(2t√t＋√t－3)/√t＝{(√t－1)(2t＋2√t＋3)}/√t＝(√t－1){2(√t＋1/2)2＋5/2}/√t
よって増減表は図のようになり、f(t)はt＝1のとき極小かつ最小となる。
ゆえにLの最小値は√f(1)＝√5
特別問題B～数学～
(1) y＝x2/2よりy'＝xであるからP(a,a2)(a≠0)における法線は
y＝－1/a・(x－a)＋a2/2 ∴x＋ay＝a2/2＋a・・・①
これはa＝0のときも成り立つ。同様にしてQにおける法線の方程式はx＋by＝b2/2＋b・・・②
②－①より(b－a)y＝(b3－a3)/2＋(b－a)
b≠aよりy＝(b2＋ba＋a2)/2＋1
$\displaystyle \lim_{b\to a}y=\frac{3}{2}a^2+1$ このとき①より$\displaystyle \lim_{b\to a}x=-a^3$
よってA(－a3,3a2/2＋1)
(2) (1)で求めたAの座標を(x,y)とすると、x＝－a3 ∴a＝(－x)1/3
∴y＝3/2・(－x)2/3＋1・・・③ これが軌跡C2の方程式だから、C2はy軸に関して対称である。そこで、x＞0とすると、y'＝x-1/3＞0、y''＝1/3・x-4/3＜0
$\displaystyle \lim_{x\to+0}y'=\infty$
x＝0のときy＝1であるから曲線C1と軌跡C2の概形は図のようになる。また、③とC1の方程式を連立して
3/2・x2/3＋1＝x2/2⇔x2－3x2/3－2＝0 t＝∛x2とおくと
t3－3t－2＝0⇔(t－2)(t＋1)2＝0 t≧0よりt＝2 x2＝8 ∴x＝±2√2
よって交点の座標は(±2√2,4)
(3) 求める面積をSとすると対称性より
$S=2×\int^{2\sqrt2}_0 (\frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}}+1-{\frac{x^2}{2}})dx$
$=2×[\frac{9}{10}x^{\frac{5}{3}}+x-\frac{1}{6}x^3]^{2\sqrt2}_0$
$=2×(\frac{18\sqrt2}{5}+2\sqrt2-\frac{8}{3}\sqrt2)$
$=2×\frac{44\sqrt2}{15}=\frac{88\sqrt2}{15}$
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