漢字戦場　～ブレイズム漢字講座ブログ～

2674時間目　～諺・四字熟語～

次の漢字の読みを記せ。

Ⅰ　遠物を宝とせざれば、則ち遠人格る

Ⅱ　燕朋は其の師に逆らう

Ⅲ　愛は小出しにせよ

Ⅳ　哀れみを垂る

Ⅴ　香奠の出し遅れ

Ⅵ　三綱五常

Ⅶ　三豕渉河

Ⅷ　食馬解囲

Ⅸ　分憂の寄

Ⅹ　羅綺千箱

特別問題A～数学～

定数aをa＞0として、曲線C₁：y＝1/a・logxと曲線C₂：y＝e^axを考える。次の問いに答えよ。

(1) 曲線C₁とC₂は直線y＝xに関して対称であることを示せ。
(2) 曲線C₁とy＝xが接するようにaの値を定めよ。
(3) aが(2)で定められた値のとき、曲線C₁、C₂とx軸、およびy軸で囲まれた図形の面積を求めよ。　[大阪市立大]

特別問題B～数学～

次の問いに答えなさい。

(1) cを正の定数とする。正の実数x＋y＝cを満たすとき、(1＋1/x)(1＋1/y)の最小値をcを用いて表せ。
(2) 正の実数x,y,zがx＋y＋z＝1を満たすとき、(1＋1/x)(1＋1/y)(1－4/3z)の最大値を求めよ。　[大阪大]

2674時間目模範解答

Ⅰ　遠物を宝とせざれば、則ち遠人格る・・・えんぶつ(を)たから(とせざれば、)すなわ(ち)えんじんいた(る)
意味：貢物を要求しない人にのみ、遠人はなつく。

Ⅱ　燕朋は其の師に逆らう・・・えんぽう(は)そ(の)し(に)さか(らう)
意味：あまり良くない友と交わっていると、いつか師に逆らうようになる。

Ⅲ　愛は小出しにせよ・・・あい(は)こだ(しにせよ)
意味：あまり激しい愛は長続きしない。

Ⅳ　哀れみを垂る・・・あわ(れみを)た(る)
意味：慈悲をかける。情けをかける。

Ⅴ　香奠の出し遅れ・・・こうでん(の)だ(し)おく(れ)
意味：時機を逃して、間の悪い思いをすることのたとえ。

Ⅵ　三綱五常・・・さんこうごじょう
意味：儒教で、人として常に踏み行い、重んずべき道のこと。

Ⅶ　三豕渉河・・・さんししょうか
意味：文字・伝聞の誤りのたとえ。

Ⅷ　食馬解囲・・・しょくばかいい
意味：恩義を受けたことのある人が、恩人が危機に陥ったときに助けに行くこと。

Ⅸ　分憂の寄・・・ぶんゆう(の)き
意味：諸国の政務をつかさどった地方官である国司のこと。

Ⅹ　羅綺千箱・・・らきせんばこ
意味：無駄なぜいたくのこと。

特別問題A～数学～

(1) C₂：y＝e^axよりax＝logy　∴x＝logy/a
これはC₁：y＝logx/aのxとyを入れ替えたものである。
よってC₁とC₂は直線y＝xに関して対称である。　■
(2) y＝logx/aよりy'＝1/ax　よって、C1の点(t,logt/a)における接線の方程式はy－logt/a＝(x－t)/at
∴y＝x/at－1/a　これが直線y＝xとなるための条件は1/at＝1・・・①、－1/a＋logt/a＝0・・・②
②よりlogt＝1　これを①に代入するとa＝1/e
(3) C₁とC₂の対称性に注意すると、求める面積は
$2(\int^e_0 e^{\frac{x}{e}}dx-\frac{1}{2}\cdot e\cdot e)$

$=2[e\cdot e^{\frac{x}{e}}]^e_0-e^2$

$=2(e^2-e)-e^2=e^2-2e$

特別問題B～数学～

(1) (1＋1/x)(1＋1/y)＝1＋(x＋y＋1)/xyより1＋(c＋1)/xy
相加平均と相乗平均の関係より(x＋y)/2≧√(xy)　∴1/xy≧(2/(x＋y))²＝(2/c)²
等号はx＝y＝c/2のとき成り立つから(1＋1/x)(1＋1/y)は最小値を持ち、それをcで表すと1＋(c＋1)(2/c)²＝((c＋2)/c)²
(2) 正の数x,y,zがx＋y＋z＝1を満たすとき、(1＋1/x)(1＋1/y)(1－4/3z)＝Pとおくと(1＋1/x)(1＋1/y)＞0、1－4/3z＜0であるからP＜0である。
そしてx＋y＝c、z＝1－c(0＜c＜1)を満たすとき、Pの取りうる値の範囲は①よりP≦((c＋2)/c)²{1－4/3(1－c))}＝1/3・((c＋2)/c)²・(3c＋1)/(c－1)
ここでf(c)＝((c＋2)/c)²・(3c＋1)/(c－1)とおくと
f'(c)＝{2(c＋2)/c・－2/c²}・(3c＋1)/(c－1)＋{(c＋2)/c}²・－4/(c－1)²＝－{4(c＋2)(2c＋1)(2c－1)}/{c³(c－1)²}
0＜c＜1/2でf'(c)＞0、1/2＜c＜1でf'(c)＜0、f'(1/2)＝0であるからPはc＝1/2で最大となり、最大値は1/3・f(1/2)＝－125/3

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