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2656時間目 ～漢検一級～
次の問いに答えよ。
漢検一級配当読み
次の漢字の読みを記せ。
Ⅰ 拱把
Ⅱ 堊慢
Ⅲ 千鎰
Ⅳ 壼奥
四字熟語・諺
次の四字熟語・諺の読みと意味を記せ。
Ⅰ 懸河水を瀉ぐ
Ⅱ 足を帝腹に加う
Ⅲ 俯仰の間
当て字・熟字訓
次の当て字・熟字訓の読みを記せ。
Ⅰ 臭梧桐
Ⅱ 秋葵
Ⅲ 烏拉児
特別問題A～数学～
x,yを実数とするとき、次の問いに答えよ。
(1) 不等式x2＋y2≦|x|＋|y|を満たす領域を図示せよ。
(2) (1)で図示した領域の面積を求めよ。 [小樽商大]
特別問題B～数学～
曲線y＝logx上の点P(t,logt)における接線をlとする。
(1) 直線lの方程式を求めよ。
以下では、曲線y＝ax2－bは点Pを通り、Pにおいてlに接しているとする。但し、aとbは正の数である。曲線y＝ax2－bとx軸で囲まれた図形の面積をSとする。
(2) Sをa,bで表せ。
(3) a,bをtで表し、tの取りうる値の範囲を求めよ。
(4) Sの最大値とそのときのtの値を求めよ。 [明治大]
2656時間目模範解答
漢検一級配当読み
Ⅰ 拱把・・・きょうは
意味：両手で握ることと片手で握ること。また、それぐらいの大きさ。
Ⅱ 堊慢・・・おまん
意味：白い土でよごす。白い土を塗る。
Ⅲ 千鎰・・・せんいつ
意味：莫大な金。
Ⅳ 壼奥・・・こんおく
意味：宮中の奥深いところ。転じて、物事の奥深い部分。
四字熟語・諺
Ⅰ 懸河水を瀉ぐ・・・けんがみず(を)そそ(ぐ)
意味：よどみのない弁舌。立て板に水のたとえ。
Ⅱ 足を帝腹に加う・・・はら(を)ていふく(に)くわ(う)
意味：地位の差を無視して付き合うたとえ。
Ⅲ 俯仰の間・・・ふぎょう(の)かん
意味：ほんのわずかな間のこと。
当て字・熟字訓
Ⅰ 臭梧桐・・・くさぎ[植]
クマツヅラ科の落葉低木ないし小高木。
Ⅱ 秋葵・・・とろろあおい[植]
アオイ科の一年草。
Ⅲ 烏拉児・・・ウラル[地]
ロシア連邦の大経済地域の一つ。
特別問題A～数学～
(1) x≧0、y≧0のとき不等式はx2＋y2≦x＋y
よって(x－1/2)2＋(y－1/2)2≦1/2 また
x2＋y2≦|x|＋|y|⇔(－x)2＋y2≦|－x|＋|y|⇔x2＋(－y)2≦|x|＋|－y|≦(－x)2＋(－y)2≦|－x|＋|－y|であるから、求める領域は原点、x軸、y軸に関して対称である。
よって、x2＋y2≦|x|＋|y|を満たす領域は図の斜線で境界線含む。
(2) 半径√2/2の半円4個と1辺√2の正方形の面積の和であるから4×1/2(√2/2)2π＋(√2)2＝π＋2
特別問題B～数学～
(1) y'＝1/xより求める方程式はy＝1/t・(x－t)＋logt
(2) ax2－b＝0よりx＝±√(b/a) よって
$S=-2\int^{\sqrt{\frac{b}{a}}}_0 (ax^2-b)dx$
$=-2[\frac{a^3}{3}x^3-bx]^{\sqrt{\frac{b}{a}}}_0$
$=-2(\frac{a}{3}\cdot \frac{b}{a}\sqrt{\frac{b}{a}}-b\sqrt{\frac{b}{a}})$
$=\frac{4}{3}b\sqrt{\frac{b}{a}}$
(3) 点Pを通ることよりat2－b＝logt・・・① 点Pでlに接することより2at＝1/t・・・②
①、②よりa＝1/2t2、b＝1/2－logt b＞0よりlogt＜1/2 ∴0＜t＜√e
(4) b3/a＝2t2(1/2－logt)3＝f(t)とおく
f'(t)＝4t(1/2－logt)3＋3(1/2－logt)2・(－logt)'・2t2＝4t(1/2－logt)3－6t(1/2－logt)2＝2t(1/2－logt)2(1－2logt－3)＝－4t(1/2－logt)(1＋logt)
よってf(t)はt＝1/eで最大かつ極大となる。
f(1/e)＝2/e2・27/8＝27/4e2であるからSの最大値は4/3・√(27/4e2)＝2√3/e